Sierpińského priestor

Sierpińského priestor, pomenovaný po Wacławovi Sierpińskom, je topologický priestor pozostávajúci z dvoch prvkov, 0 a 1, ktorý má iba jednu uzavretú jednoprvkovú podmnožinu. Je najmenším topologickým priestorom, ktorý nie je ani triviálny, ani diskrétny. Využíva sa vo formálnej sémantike a v teórii vypočítateľnosti.

Definícia

Sierpińského priestor je topologický priestor na množine {0,1}, ktorého otvorené podmnožiny sú

$\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\},$

a ktorého uzavreté podmnožiny sú

$\{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.$

Teda jednoprvková množina {0} je uzavretá (a nie otvorená), jednoprvková množina {1} je len otvorená. Operátor uzáveru je v tomto priestore definovaný nasledovne:

${\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.$