Reciproká rovnica

Reciproká rovnica alebo recipročná rovnica n-tého stupňa prvého, resp. druhého druhu je algebraická rovnica $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\,,\,\,a_{n}\neq 0.$

kde

•  $a_{k}=a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n$ je reciproký mnohočlen 1. druhu (kladne reciproký)
•  $a_{k}=-a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n$ je reciproký mnohočlen 2. druhu (záporne reciproký)

Pre reciprokú rovnicu je teda charakteristická symetria koeficientov, ide teda vlastne o špeciálny prípad algebrickej rovnice, ktorú vďaka tejto vlastnosti dokážeme riešiť vhodnými substitúciami.

Postup riešenia

• každá reciproká rovnica druhého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = 1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x−1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu.
• každá reciproká rovnica prvého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = −1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x+1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa.
• reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa n je možné previesť na algebraickú rovnicu polovičného stupňa vydelíme výrazom $x^{\dfrac {n}{2}}$ a substitúciou:

$y=x+{\dfrac {1}{x}}$

$y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}$

$y^{3}-3y=x^{3}+{\dfrac {1}{x^{3}}}$

$y^{4}-4y^{2}+2=x^{4}+{\dfrac {1}{x^{4}}}$

Z vyššie uvedených skutočnosti možno ľahko odvodiť, že ak je číslo $c$ riešením reciprokej rovnice, potom aj číslo $1/c$ je jej riešením. V prípade koreňa $c=1$ je to $c={\frac {1}{1}}=1$, čo je triviálny prípad.

Príklady reciprokých rovníc

$1)$ $2x^{3}+3x^{2}+3x+2=0$

$a_{3}=2=a_{0}$

$a_{2}=3=a_{1}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu tretieho stupňa.

$2)$ $3x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+3=0$

$a_{4}=3=a_{0}$

$a_{3}=-5=-a_{1}$

$a_{2}=8=-a_{2}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvrtého stupňa.

$3)$ $12x^{4}-25x^{3}+25x-12=0$

$a_{4}=12=-a_{0}$

$a_{3}=-25=-a_{1}$

Je to reciproká rovnica druhého druhu štvrtého stupňa.

$4)$ $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$

$a_{4}=1=a_{0}$

$a_{3}=1=a_{1}$

$a_{2}=1=a_{2}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvréto stupňa.

$5)$ $12x^{4}-25x^{3}+5x^{2}+25x-12=0$

$a_{4}=12=-a_{0}$

$a_{3}=-25=-a_{1}$

$a_{2}=5\neq -a_{2}$

a teda to nie je reciproká rovnica.

Príklady

Riešte rovnicu $1)$ $4x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+5x+4=0$

Ide o reciprokú rovnicu prvého druhu párneho stupňa. Rovnicu vydelíme výrazom $x^{2}$

$4x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+5x+4=0\quad /\cdot {\frac {1}{x^{2}}}$

$4x^{2}+5x+2+5{\frac {1}{x}}+4{\frac {1}{x^{2}}}=0$ | rovnicu si vhodne upravíme

$4(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+5(x+{\frac {1}{x}})+2=0$ | zavedieme substitúcie $y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}$ a $y=x+{\dfrac {1}{x}}$

$4(y^{2}-2)+5y+2=0$

$4y^{2}-8+5y+2=0$

$4y^{2}+5y-6=0$

$D=b^{2}-4ac=5^{2}-4.4.(-6)=25+96=121$ a teda $y_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-5\pm {\sqrt {121}}}{8}}$=

$y_{1}={\frac {-5-11}{8}}=-{\frac {16}{8}}=-2$ , $y_{2}={\frac {-5+11}{8}}={\frac {6}{8}}={\frac {3}{4}}$

Spätným dosadením do $y=x+{\dfrac {1}{x}}$ dostávame

$-2=x+{\dfrac {1}{x}}$ $\quad /\cdot x$

$-2x=x^{2}+1$

$x^{2}+2x+1=0$

$(x+1)^{2}=0$

$x_{1}=-1$ , $x_{1}$ je teda dvojnásobný koreň.

ďalšie dva korene dostaneme z:

${\frac {3}{4}}=x+{\dfrac {1}{x}}$

${\frac {3}{4}}x=x^{2}+1$

$x^{2}-{\frac {3}{4}}x+1=0$

$D=(-{\frac {3}{4}})^{2}-4.1.1=-{\frac {55}{16}}$ keďže diskriminant je záporný, rovnica $x^{2}-{\frac {3}{4}}x+1$ nemá reálne korene a riešením je teda $P=\{-1\}$

Pozri aj

• Kvadratická rovnica

Externé odkazy

• Riešenie sústavy lineárnych rovníc Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
• Riešenie reciprokych rovníc. www.vypocty.sk Postup riešenia.