Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je parciálna diferenciálna rovnica ktorá vychádza zo zachovania hybnosti v kontinuu. Platí pre transport hybnosti v ľubovoľnom kontinuu, kde sa neuplatňujú relativistické javy.
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105ca87a55eef90f520f66ac9e9fa541a5565339)
kde
je hustota kontinua,
je tenzor napätia, a
je vektor objemových síl, obvykle predstavovaných gravitáciou.
je vektorové pole rýchlostí kontinua a má za premenné čas a súradnice systému.
Po rozložení tenzora napätia na izotropnú a neizotropnú časť, dostaneme:
![{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\vec {\vec {\tau }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d4910dfaf3fd114812a064643eec94bc0dfbf6)
kde
je tenzor viskózneho (tangenciálneho) napätia a
je tlak (normálové napätie).
Všetky rovnice popisujúce nerelativistické kontinuum vychádzajú z Cauchyho rovnice dynamickej rovnováhy. Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je jednou zo základných rovníc popisujúcich transportné fenomény. Pri praktickom použití narážame na prekážky – analytické vyjadrenie tenzora napätia je zolžité, alebo neznáme, preto sa rovnica priamo nepoužíva. Po dosadení patričného vzťahu pre viskozitu dostaneme Navier-Stokesovu rovnicu.
Pokiaľ je kontinuum ideálne (napätie je predstavované len tlakom),
v stacionárnom stave
a mimo gravitačného pôsobenia (
) dostaneme rovnicu:
![{\displaystyle \rho \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822551af0770a513c3d295da9975c69a2face412)
Táto rovnica je Bernoulliho rovnica v diferenciálnom tvare a po integrácii dostaneme konvenčný tvar:
![{\displaystyle p_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00304bed9832e2228e3a2386be22b3522cc03c76)
Vidíme tak, že Bernoulliho rovnica je dôsledkom zachovávania hybnosti v sústave, ak vyhovuje niektorým zjednodušeniam.
Odvodenie Cauchyho rovnice
Napíšeme si Zákon sily pre element objemu V, ak
je plocha, ktorá ho obopína:
![{\displaystyle dma_{i}=dF_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e989d69a4c601d8cfc3a4cb51c016d0818bad85d)
![{\displaystyle \rho \int _{V}{\frac {dv_{i}}{dt}}\,dV=\oint _{\Sigma }{\sigma _{ij}}\,dS+\int _{V}f_{i}\,dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13f50c2b3c6d4e8163103aa1208ac168e7ea466)
Po aplikácii Gaussovej-Ostrogradského vety a sčítaní všetkých zložiek dostaneme
![{\displaystyle \rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c11c600f64215b1a068c983bfde83bb5935ac1)
Keďže vektorové pole rýchlosti
je závislé od polohy aj od času, derivuje sa zložená funkcia:
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial \mathbf {r} }}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}+\nabla \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5c1d28c99c0c653df369c2fd2e849e732d9db0)
Po dosadení do odvodenej rovnice zachovania:
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105ca87a55eef90f520f66ac9e9fa541a5565339)
Q.E.D.
Literatúra
- Šesták, J., Rieger, F.: Přenos hybnosti, tepla a hmoty, ČVUT Praha 1998