Deliteľnosť

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Deliteľnosť je možnosť rozkladať celok na časti.

V matematike je deliteľnosť vlastnosť celých čísel. Celé číslo p je deliteľné nenulovým celým číslom q (číslo q delí p), ak existuje také celé číslo k, pre ktoré platí, že: p = kq.

Napr. číslo 27 je deliteľné tromi, lebo 27 = 9 · 3. Alternatívne je p deliteľné q, ak zvyšok po delení p/q je nula.

Všeobecne[upraviť | upraviť zdroj]

  • číslo p sa nazýva delenec,
  • číslo q sa nazýva deliteľ,
  • číslo k sa nazýva podiel čísla p pri delení číslom q,
  • v obore celých čísel majú čísla p a −p tie isté delitele,
  • čísla 1, −1, p a −p sa nazývajú triviálne delitele čísel p a −p,
  • ak existujú ešte ďalšie delitele, nazývajú sa netriviálne,
  • delitele čísla p menšie ako p sa nazývajú vlastné delitele čísla p
  • každé celé číslo je deliteľom nuly, nula ale nie je deliteľom žiadneho celého čísla rôzneho od nuly.

Párne a nepárne čísla[upraviť | upraviť zdroj]

Celé číslo deliteľné dvomi sa nazýva párne. Ak číslo nie je párne, nazýva sa nepárne.

Prvočísla[upraviť | upraviť zdroj]

Prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré má iba triviálne delitele (je deliteľné iba jednotkou a samo sebou), sa nazýva prvočíslo. Prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré nie je prvočíslom, sa nazýva zložené číslo.

Prvočiniteľ[upraviť | upraviť zdroj]

Prvočíslo, ktoré delí číslo p, sa nazýva prvočiniteľ. Každé zložené číslo možno napísať ako súčin prvočiniteľov. Tento zápis (pokiaľ neberieme do úvahy poradie prvočiniteľov) je pre každé číslo jedinečný (pozri faktorizácia).

Dve čísla sa nazývajú súdeliteľné, keď majú spoločného deliteľa väčšieho než 1. Pokiaľ takého deliteľa nemajú, nazývajú sa nesúdeliteľné.

Kritéria deliteľnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Nasledujúca tabuľka obsahuje kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave.

q kritérium príklad
2 ak je posledná číslica párna 128, 1002
3 ak je ciferný súčet deliteľný 3 228 (2+2+8=12)
4 ak je posledné dvojčíslie deliteľné 4 612,1008
5 ak je na poslednom mieste 5 alebo 0 35, 10540
6 ak je číslo deliteľné 2 a súčasne aj 3 924, 29250
7 ak je siedmimi deliteľný súčet vypočítaný tak, že sa prvá až n-tá číslica od zadu vynásobí postupne číslami (periodicky sa opakujúcimi): 1, 3, 2, 6, 4, 5 Je 138309241 deliteľné 7? 1*1+4*3+2*2+9*6+0*4+3*5+8*1+3*3+1*2=105 (číslo deliteľné 7), 138309241 je teda deliteľné 7
8 ak je posledné trojčíslie deliteľné 8 12504
9 ak je súčet cifier deliteľný 9 1683 (1+6+8+3=18)
10 ak je na poslednom mieste 0 1220, 2180
11 ak je rozdiel súčtu číslic na párnom a nepárnom mieste deliteľný 11 alebo rovný 0 5357 ((5+5)-(3+7)=0)
12 ak je číslo deliteľné 3 a súčasne aj 4 65 412 (6+5+4+1+2=18 → deliteľné tromi); 65 412 (12/4=3 → OK)
13 ak je rozdiel súčtu párnych a nepárnych trojíc cifier deliteľný trinástimi 2022046 (002-022+046 = 26)
17 ak je výsledok nasledujúceho postupu deliteľný sedemnástimi: striedavo sa odčítajú a pripočítajú dvojice cifier vynásobené 2 a medzivýsledky sa vždy delia dvomi. Konečný výsledok sa potom vynásobí násobkom desať tak, aby vyšlo celé číslo. 51153 ((53-(2*11))/2 + 2*5 = 25.5 a 255 je deliteľné 17)
25 ak je posledné dvojčíslie deliteľné 25 125, 15475
100 ak sú posledné dve číslice 0 (00) 15400, 700

Všeobecné kritérium deliteľnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ľubovoľné kritérium deliteľnosti možno zapísať ako ciferný súčet s váhami — číslo x je deliteľné prvočíslom n práve keď Σk αkak je deliteľné n, kde x   =   a0 + 10a1 + 100a2 + 1000a3 + …+10nan, alebo je zapísané v pozičnej sústave so základom 10.

Jednotlivé váhy v cifernom súčte sú riešenia jednoduchých kongruencií \alpha_k \equiv 10^k\,(mod\ n). Riešením sú teda zvyšky po delení 10k/n.

Napríklad číslo x je deliteľné 17 práve keď a0 − 7a1 − 2a2 − 3a3 + 4a4 + 6a5 − 8a6 + 5a7a8 + 7a9 + 2a10 + 3a11 − 4a12 − 6a13 + 8a14 − 5a15 + a16 … je deliteľné 17.

Deliteľnosť v minulosti[upraviť | upraviť zdroj]

Podľa Anaxagora neexistuje nijaké nedeliteľné (ani odlišné od nuly, ani nulové veličiny); medzi malými vecami vždy je ešte niečo menšie a medzi veľkými vecami je vždy ešte niečo väčšie, takže je nemožné, aby súcno delením do nekonečna prestalo byť.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

  • FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.