Goldbachova domnienka

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Párne čísla od 4 do 28 zobrazené ako súčet dvoch prvočísiel: Párnym číslam zodpovedajú vodorovné čiary - riadky. Pre každé prvočíslo máme dve šikmé čiary, jednu modrú a jednu červenú a ich priesečník je označený malým krúžkom. Obrázok je nakreslený tak, že dve šikmé čiary sa stretnú presne v takom riadku, aký je súčet zodpovedajúcich prvočísiel: napríklad 20=7+13=3+17, čo zodpovedá dvom krúžkom v riadku pre číslo 20. Vo všeobecnosti krúžky v jednom riadku zobrazujú všetky možnosti, ako sa nejaké párne číslo dá zapísať ako súčet dvoch prvočísiel. Goldbachova domnienka tvrdí, že (ak by sme s kreslením takéhoto obrázku pokračovali do nekonečna) v každom riadku bude aspoň jeden krúžok.

Goldbachova domnienka je jedným z najstarších a najznámejších nevyriešených problémov teórie čísel a celej matematiky. Domnienka tvrdí, že:

Každé párne celé číslo väčšie ako 2 sa dá vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel.

Táto hypotéza bola overená pre všetky párne čísla menšie ako 4 × 1018.[1] Napriek značnému úsiliu však ešte nikto nedokázal tvrdenie pre všetky párne čísla.

Goldbachove číslo[upraviť | upraviť zdroj]

Goldbachove číslo je prirodzené číslo, ktoré sa dá vyjadriť ako súčet dvoch nepárnych prvočísiel.[2] Keďže 4 je jediné párne číslo väčšie ako 2, ktoré potrebuje 2, ak ju chceme zapísať ako súčet dvoch prvočísiel, Goldbachovu domnienku môžeme formulovať aj nasledovne: Každé párne číslo väčšie ako 4 je Goldbachove číslo.

Vyjadrenie daného párneho čísla ako súčet dvoch prvočísiel sa nazýva Goldbachov rozklad tohto čísla. Nižšie sú uvedené príklady Goldbachových rozkladov pre niektoré párne čísla:

6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 7 + 5
...
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
...

Počet spôsobov, ktorými sa 2n dá zapísať ako súčet dvoch prvočísiel (pre n začínajúce od 1) je:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 3, 4, 6, 3, 5, 6, 2, 5, 6, 5, 5, 7, 4, 5, 8, 5, 4, 9, 4, 5, 7, 3, 6, 8, 5, 6, 8, 6, 7, 10, 6, 6, 12, 4, 5, 10, 3, ... (postupnosť A045917 v OEIS).

Pôvod[upraviť | upraviť zdroj]

List od Goldbacha Eulerovi dňa 7. júna 1742 (Latinčina a Nemečina).[3]

7. júna 1742, nemecký matematik Christian Goldbach napísal list Leonhardovi Eulerovi (list č. XLIII)[4] , v ktorom navrhol takúto domnienku:

Každé celé číslo, ktoré sa dá zapísať ako súčet dvoch prvočísel, sa potom dá rozpísať ako súčet ľubovoľne veľa prvočísiel, až kým sa všetky výrazy nerozložia na jednotky.

Na okraj listu potom ešte dopísal túto domnienku:

Každé prirodzené číslo väčšie ako 2 možno zapísať ako súčet troch prvočísiel.

Je nutné podotknúť, že Goldbach považoval aj 1 za prvočíslo - táto konvencia sa v súčasnej matematike nepoužíva. Nie je známe, či sú dve spomínané domnienky ekvivalentné, ale zdá sa, že to v tom čase nebol hlavný problém. Moderná verzia Goldbachovej domnienky na okraji znie:

Každé celé číslo väčšie než 5 sa dá zapísať ako súčet troch prvočísiel.

Euler odpovedal v liste z 30. júna 1742, a pripomenul Goldbachovi ich staršiu diskusiu ("…so Ew vormals mit mir communicirt haben…"), v ktorej Goldbach poznamenal, že jeho prvá domnienka (nie tá na okraji) vyplýva z nasledujúceho tvrdenia

Každé párne celé číslo väčšie ako 2 možno zapísať ako súčet dvoch prvočísiel.

čo je tým pádom tiež Goldbachova domnienka.

V liste z 30. júna 1742, Euler napísal:

"Dass … ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann." ("To ... že každé párne číslo je súčet dvoch prvočísel považujem za úplne zaručene pravdivé, hoci to neviem dokázať.")[5][6]

Práve táto tretia verzia má tvar, v ktorom sa domnienka formuluje dnes. Je tiež známa ako "silná", "párna", alebo "binárna" Goldbachova domnienka, keď ju chceme odlíšiť od slabšieho tvrdenia, dnes známeho ako slabá Goldbachova domnienka, "nepárna", alebo "ternárna" Goldbachova domnienka. Táto slabá domnienka tvrdí, že všetky nepárne čísla väčšie ako 7 sa dajú vyjadriť ako súčet troch nepárnych prvočísiel, a zdá sa, že bola dokázaná v roku 2013.[7][8] Slabá domnienka vyplýva zo silnej, pretože ak n – 3 je súčet dvoch nepárnych prvočísiel, potom pridaním trojky dokážeme nn vyjadriť ako súčet troch nepárnych prvočísiel. Nie je známe, či platí aj opačná implikácia, teda či zo slabej domnienky vyplýva silná.

Overovanie pre malé n[upraviť | upraviť zdroj]

Pre malé hodnoty n, môžeme skúsiť overiť Goldbachovu domnienku priamo. Napríklad, Nils Pipping v roku 1938 prácne overil, že domnienka je pravdivá pre n ≤ 105.[9] S príchodom počítačov sa domnienku podarilo overiť pre mnoho ďalších hodnôt n; T. Oliveira e Silva bežal distribuovaný výpočet, ktorý overil domnienku pre n ≤ 4 × 1018 (a dvakrát overil pre n ≤ 4 × 1017) v roku 2013. Jeden rekord z tohto vyhľadávania je, že 3,325,581,707,333,960,528 je najmenšie číslo, ktoré nemá Goldbachov rozklad s prvočíslami menšími ako 9781.[10]

Rigorózne výsledky[upraviť | upraviť zdroj]

Pomocou Vinogradovej metódy, Chudakov,[11] Van der Corput,[12] a Estermann[13] ukázali, že takmer všetky párne čísla sa dajú zapísať ako súčet dvoch prvočísiel (v tom zmysle, že podiel čísel, ktoré sa dajú zapísať sa pre n idúce do nekonečna blíži k 1). V roku 1930, Lev Schnirelmann ukázal,[14][15] že všetky prirodzené čísla väčšie než 1 sa dajú zapísať ako súčet najviac C prvočísiel, kde C je efektívne vypočítateľná konštanta (pozri Schnirelmannova hustotou). Schnirelmannova konštanta je najmenšie číslo C s touto vlastnosťou. Schnirelmann sám dokázal, že C < 800,000. Tento výsledok postupne zlepšilo mnoho autorov, až Olivier Ramaré, ktorý v roku 1995 ukázal, že každé párne číslo n ≥ 4 je v skutočnosti súčet najviac šesť prvočísiel. Najlepší známy výsledok v súčasnosti vyplýva z dôkazu slabej Goldbachovej domnienky Haralda Helfgotta[16] , z ktorej priamo vyplýva, že každé párne číslo n ≥ 4 je súčet najviac štyroch prvočísiel.[17][18]

Chen Jingrun ukázal v roku 1973 pomocou metódy preosievania, že každé dostatočne veľké párne číslo sa dá zapísať ako súčet dvoch prvočísiel alebo ako súčet prvočísla a poloprvočísla (čísla, ktoré je súčinom dvoch prvočísiel).[19]

V roku 1975, Hugh Montgomery a Robert Charles Vaughan ukázali, že "väčšina" párnych čísel sa dá vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel. Presnejšie: ukázali, že existujú kladné konštanty c a C také, že pre všetky dostatočne veľké čísla N, je skoro každé párne číslo menšie ako N súčtom dvoch prvočísiel, pričom počet výnimiek je nanajvýš . Teda množina čísiel, ktoré nie sú súčtom dvoch prvočísiel má hustotu nula.

Linnik ukázal v roku 1951 existenciu konštanty K takej, že každé dostatočne veľké párne číslo je súčtom dvoch prvočísiel a najviac K mocnín 2. Roger Heath-Hnedé a Jan-Christoph Schlage-Puchta v roku 2002 dokázali, že tvrdenie platí pre K = 13[20] a Pintz a Ruzsa v roku 2003 dokázali, že tvrdenie platí už pre K = 8.[21]

Tak ako pri mnohých ďalších slávnych domnienkach v matematike, existuje množstvo údajných dôkazov Goldbachovej domnienky. Žiadny však nebol overený a prijatý matematickou komunitou.

Súvisiace problémy[upraviť | upraviť zdroj]

  • Podobným problémom ako Goldbach sa zaoberal Lagrange, avšak namiesto prvočísel uvažoval druhé mocniny celých čísel (tzv. štvorce: 1, 4, 9, 16, ...). Dokázal, že každé prirodzené číslo sa dá vyjadriť ako súčet štyroch štvorcov. Pozri tiež Waringov problém a súvisiaci Waring–Goldbachov problém, ktoré sa týkajú vyšších mocnín celých čísiel a prvočísiel.
  • Hardy a Littlewood uvádzajú Hypotézu I: "Každé dostatočne veľké nepárny číslo (n > 5) sa dá vyjadriť ako súčet prvočísla a dvojnásobku prvočísla." (Mathematics Magazine, 66.1 (1993): 45-47.) Toto tvrdenie je známy tiež ako Lemoinova domnienka a Levyho domnienka.
  • Goldbachovu domnienku pre praktické čísla (čísla podobné prvočíslam), formuloval v roku 1984 Margenstern[22] a v roku 1996 dokázal Melfi:[23] každé párne číslo je súčtom dvoch praktických čísel.

Odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

  1. "Goldbach conjecture verification"
  2. Weisstein, Eric W. "Goldbach Number". MathWorld. Šablóna:MathWorld
  3. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, pp. 125–129
  4. http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf
  5. INGHAM, AE. Popular Lectures [online]. [Cit. 2009-09-23]. Dostupné online.
  6. CALDWELL, Chris. Goldbach's conjecture [online]. 2008, [cit. 2008-08-13]. Dostupné online.
  7. Šablóna:Cite arXiv
  8. Šablóna:Cite arXiv
  9. Pipping, Nils (1890-1982), "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradovsche Satz." Acta Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4–25, 1938.
  10. Tomás Oliveira e Silva, Goldbach conjecture verification. Retrieved 20 July 2013
  11. CHUDAKOV, Nikolai G.. О проблеме Гольдбаха. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1937, s. 335–338.
  12. VAN DER CORPUT, J. G.. Sur l'hypothèse de Goldbach. Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 1938, s. 76–80. Dostupné online. (po francúzsky)
  13. ESTERMANN, T.. On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes. Proc. London Math. Soc., 1938, s. 307–314. DOI10.1112/plms/s2-44.4.307.
  14. Schnirelmann, L.G. (1930). "On the additive properties of numbers", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol XIV (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.
  15. Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "Über additive Eigenschaften von Zahlen" in "Mathematische Annalen" (in German), vol 107 (1933), 649-690, and reprinted as "On the additive properties of numbers" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.
  16. Šablóna:Cite arXiv
  17. SINISALO, Matti K.. Checking the Goldbach Conjecture up to 4 1011. Mathematics of Computation, Oct 1993, s. 931–934. Dostupné online. DOI10.2307/2153264.
  18. RASSIAS, M. Th.. Goldbach's Problem: Selected Topics. [s.l.] : Springer, 2017.
  19. CHEN, J. R.. On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sci. Sinica, 1973, s. 157–176.
  20. HEATH-BROWN, D. R.; PUCHTA, J. C.. Integers represented as a sum of primes and powers of two. Asian Journal of Mathematics, 2002, s. 535–565.
  21. PINTZ, J.; RUZSA, I. Z.. On Linnik's approximation to Goldbach's problem, I. Acta Arithmetica, 2003, s. 169–194. DOI10.4064/aa109-2-6.
  22. MARGENSTERN, M.. Results and conjectures about practical numbers. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 1984, s. 895–898.
  23. MELFI, G.. On two conjectures about practical numbers. Journal of Number Theory, 1996, s. 205–210. DOI10.1006/jnth.1996.0012.