Asymptotická hustota

Asymptotická hustota je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota $d(A)$ množiny $A$ prirodzených čísel definovaná vzťahom

d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}

kde $A(n)=\left|A\cap \{1,2,3,\ldots ,n\}\right|$ je počet všetkých prvkov množiny $A$ , ktoré sú menšie než prirodzené číslo $n$ . Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina $A$ má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.

Horná a dolná asymptotická hustota[upraviť | upraviť zdroj]

Horná asymptotická hustota podmnožiny $A$ prirodzených čísel je číslo

{\overline {d}}(A)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}

zatiaľ čo jej dolná asymptotická hustota je

{\underline {d}}(A)=\liminf _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}.

Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre každú podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných čísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
Množina všetkých členov aritmetickej postupnosti {an+b} s diferenciou a má asymptotickú hustotu 1/a.
Množina štvorcov alebo množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je

A=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{n\in \mathbb {N} \,|\,2^{2n+1}-2^{2n-1}\leq n\leq 2^{2n+1}\}

.

O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ak množina $A$ má asymptotickú hustotu, potom platí $d(A^{c})=1-d(A)$ , kde $A^{c}$ je komplement množiny $A$ vzhľadom k množine prirodzených čísel. Pre hornú a dolnú hustotu máme ${\overline {d}}(A^{c})=1-{\underline {d}}(A)$ .
Pre ľubovoľnú podmnožinu prirodzených čísel platí $0\leq {\underline {d}}(A)\leq {\underline {d}}(B)\leq 1$ .
Pre disjunktné množiny $A,B\subseteq \mathbb {N}$ platí