Harmonické číslo

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Harmonické číslo alebo presnejšie n-té harmonické číslo je hodnota súčtu obrátených hodnôt všetkých prirodzených čisel menších alebo rovných n. Bežne sa označuje symbolom H_{n}. Presne je definované vzťahom

H_{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i}.

Harmonické čísla a ich vlastnosti študovali už antickí matematici. Dnes zohrávajú dôležitú úlohu v rozmanitých odvetviach teórie čísel. O harmonických číslach sa niekedy nesprávne hovorí ako o harmonickom rade. V skutočnosti sú iba čiastkovými súčtami harmonického radu. Tesne súvisia s Riemannovou zeta funkciou a vyskytujú sa v predpisoch niektorých špeciálnych funkcií.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Vytvárajúca funkcia[upraviť | upraviť zdroj]

Vytvárajúca funkcia harmonických čísel je

\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  • Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.