Herónov vzorec

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.

Vzorec[upraviť | upraviť zdroj]

Ak sú dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah , kde je polovičný obvod trojuholníka.

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Heronuv vzorec small.png

Označme vzdialenosť vrcholu od päty kolmice z vrcholu na stranu (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:





Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:



Z tohto vzťahu vyjadríme x:



Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto dáva (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme , získame výšku :











Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka



dostaneme



Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:







Dosadíme polovičný obvod s,



a dostávame výsledný vzorec:







História[upraviť | upraviť zdroj]

Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.[1]

Poznámky[upraviť | upraviť zdroj]

  • Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety.
  • Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Heronův vzorec na českej Wikipédii.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]