Herónov vzorec

Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.

Vzorec

Ak sú $a,b,c$ dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah $S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$, kde $s={\frac {a+b+c}{2}}$ je polovičný obvod trojuholníka.

Dôkaz

Označme $x$ vzdialenosť vrcholu $B$ od päty kolmice z vrcholu $A$ na stranu $a$ (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:

$\ x^{2}+v^{2}=c^{2}$

$\ (a-x)^{2}+v^{2}=b^{2}$

Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:

$\ a^{2}-2ax=b^{2}-c^{2}$

Z tohto vzťahu vyjadríme $x$:

$x={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}$

Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto $-$ dáva $+$ (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme $x$, získame výšku $v$:

$\ v^{2}=c^{2}-x^{2}$

$v^{2}=c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}$

$v^{2}=c^{2}-{\frac {\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$

$v^{2}={\frac {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$

$v={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2a}}$

Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka $S={\frac {av}{2}},$, dostaneme:

$S={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{4}}$

Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:

$S={\frac {\sqrt {\left(2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)\left(2ac-a^{2}-c^{2}+b^{2}\right)}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {\left[\left(a+c\right)^{2}-b^{2}\right]\left[b^{2}-\left(a-c\right)^{2}\right]}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\left(b-a+c\right)}}{4}}$

Dosadíme polovičný obvod $s$, $\ a+b+c=2s$ a dostávame výsledný vzorec:

$S={\frac {\sqrt {2s\left(2s-2a\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {16s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}{4}}$

$S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

História

Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.

Poznámky

• Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety.
• Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.

Pozri aj

• Trojuholník
• Obsah
• Tetivový štvoruholník

Externé odkazy

• Dôkaz Herónoveho vzorca Archivované 2007-05-26 na Wayback Machine
• Herónov vzorec^{[nefunkčný odkaz]}

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Heronův vzorec na českej Wikipédii.