Lagrangeova veta (teória grúp)

Lagrangeova veta je základné tvrdenie z teórie grúp, ktorého dôsledkom je, že rád každého prvku či podgrupy delí rád grupy. To znamená, že napríklad grupa rádu 15 môže mať prvky rádu 1, 3, 5 a 15, ale nie napríklad 7. Veta nesie meno význačného matematika, Josepha Louisa Lagrangea.

Presné znenie

Pre grupu G a jej podgrupu H platí: $|G|=[G:H]\cdot |H|$, kde |X| značí rád grupy X a [G:H] index grupy (počet ľavých cosetov H v G).

Dôkaz

Najskôr ukážeme, že ľavé cosety $gH=\{gh;\;h\in H\}$ tvoria dohromady pre $\forall g\in G$ rozklad množiny G. Pretože $x\cdot e=x\in xH$, nepochybne ľavé cosety obsahujú všetky prvky G. Aby sme ukázali, že neobsahujú žiadny prvok dvakrát, predpokladajme naopak $xH\cap yH\neq \emptyset$ pre nejaké $x,y\in G$. Inými slovami pre nejaké $h_{1},h_{2}\in H$ musí byť $x\cdot h_{1}=y\cdot h_{2}$. Vynásobením na pravej strane prvkom $h_{2}^{-1}$ dostaneme $x\cdot h_{1}\cdot h_{2}^{-1}=y$. Pre jednoduchosť vykonáme substitúciu $t=h_{1}\cdot h_{2}^{-1}$. Vzhľadom na definíciu podgrupy $t\in H$, a preto $yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}$. $yH\subset xH$, pretože tiež $(th)\in H$, a teda každý prvok v yH je obsiahnutý v xH. Symetrickým postupom by sme získali $xH\subset yH$, a preto $yH=xH$. Z čoho plynie, že cosety gH tvoria rozklad G. Aby sme ukázali, že rád všetkých cosetov je totožný, nájdeme bijektívne zobrazenie f z H na xH pre $\forall x\in G$. Definujme f predpisom $f(h)=xh$

• Dôkaz injektivity: Predpokladajme $f(h_{1})=f(h_{2})$. $x\cdot h_{1}=x\cdot h_{2}$. Obe strany vynásobíme zľava prvkom $x^{-1}$ $x^{-1}\cdot x\cdot h_{1}=x^{-1}\cdot x\cdot h_{2}$ $x^{-1}\cdot x\cdot h_{1}=x^{-1}\cdot x\cdot h_{2}$
• Surjektivita je zrejmá z definície.

$[G/H]$ značí celkový počet všetkých (či už ľavých alebo pravých) cosetov. Ako už sme ukázali, Cosette tvorí rozklad množiny G a každý z nich má rovnaký rád |H|. Z týchto skutočností vyplýva $|G|=[G/H]\cdot |H|$.