Lagrangeova veta (teória grúp)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Lagrangeova veta je základné tvrdenie z teórie grúp, ktorého dôsledkom je, že rád každého prvku či podgrupy delí rád grupy. To znamená, že napríklad grupa rádu 15 môže mať prvky rádu 1, 3, 5 a 15, ale nie napríklad 7. Veta nesie meno význačného matematika, Josepha Louisa Lagrangea.

Presné znenie[upraviť | upraviť zdroj]


Pre grupu G a jej podgrupu H platí: , kde |X| značí rád grupy X a [G:H] index grupy (počet ľavých cosetov H v G).

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Najskôr ukážeme, že ľavé cosety tvoria dohromady pre rozklad množiny G. Pretože , nepochybne ľavé cosety obsahujú všetky prvky G. Aby sme ukázali, že neobsahujú žiadny prvok dvakrát, predpokladajme naopak pre nejaké . Inými slovami pre nejaké musí byť . Vynásobením na pravej strane prvkom dostaneme . Pre jednoduchosť vykonáme substitúciu . Vzhľadom na definíciu podgrupy , a preto . , pretože tiež , a teda každý prvok v yH je obsiahnutý v xH. Symetrickým postupom by sme získali , a preto . Z čoho plynie, že cosety gH tvoria rozklad G. Aby sme ukázali, že rád všetkých cosetov je totožný, nájdeme bijektívne zobrazenie f z H na xH pre . Definujme f predpisom

  • Dôkaz injektivity: Predpokladajme . . Obe strany vynásobíme zľava prvkom
  • Surjektivita je zrejmá z definície.

značí celkový počet všetkých (či už ľavých alebo pravých) cosetov. Ako už sme ukázali, Cosette tvorí rozklad množiny G a každý z nich má rovnaký rád |H|. Z týchto skutočností vyplýva .