Operátor nabla

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Operátor nabla (iné názvy: nabla, operátor del, del, Hamiltonov operátor, Hamiltonov operátor nabla, hamiltonián) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze. Označuje sa symbolom nabla alebo (v anglosaských krajinách ), aby sa vyjadrila jeho podobnosť s vektorom. Meno nabla je odvodené od názvu hebrejského strunového nástroja, ktorý mal zhruba tento tvar.

Nabla sa používa na skrátený zápis matematických operátorov ako gradient, divergencia, rotácia a iných.

V n-rozmernom priestore Rn vytvára ∇ všetky parciálne derivácie funkcie Rn podľa R, čo je presne gradient funkcie f.

Ako n-vektor má nabla tvar:

Svojim diferenciálnym charakterom pôsobí operátor napravo (teda na symboly stojace napravo od neho), pričom sa prejavuje jeho vektorový charakter.

V tenzorovej analýze sa operátor nabla ukázal byť dôležitým príkladom kovariantného tenzoru.

Operátor sa označuje aj ako Hamiltonov operátor (pozor na zámenu s pojmom hamiltonián), pretože ho ako prvý používal sir William Rowan Hamilton.

Zápis významných vzorcov pomocou operátoru nabla[upraviť | upraviť zdroj]

Nasledujúce pravidlá platia pre (vo fyzike najobvyklejší) trojdimenzionálny euklidovský priestor R3 s pravouhlými súradnicami x, y a z.

  • Aplikáciou na skalárne pole dostávame gradient tohto skalárneho poľa:
Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {grad\ } \Phi =\nabla \Phi =\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}
kde sú jednotkové vektory priestoru R3.
  • Skalárnym súčinom nably s vektorovým poľom dostávame divergenciu tohto poľa:
Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {div\ } \mathbf {V} ={\nabla }\cdot \mathbf {V} ={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}.}
  • Rotáciu vektorového poľa potom získame vektorovým súčinom s týmto poľom.
Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {rot\ } \mathbf {V} ={\nabla }\times \mathbf {V} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}.}

Ďalej potom pre ľubovolné skalárne pole φ, ψ a f a vektorové polia A a B platia nasledujúce operácie:

(pozri aj Laplaceov operátor)