Divergencia (vektorové pole)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Divergencia je diferenciálny operátor používaný vo vektorovej analýze. Ak napr. skúmaným poľom gradient teploty (vektory nech udávajú napr. rýchlosť vedenia tepla), potom kladná divergencia v danom bode znamená, že v danom bode vzniká teplo, záporná naopak, že v danom mieste teplo zaniká.

Divergenciu využíva Gaussova veta, ktorá prevádza výpočet toku vektorového poľa cez uzavretú plochu na výpočet integrálu divergencie daného vektorového poľa z objemu v tejto ploche uzavretého.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Ak sú x, y, z karteziánske súradnice v 3-rozmernom euklidovskom priestore, a ex, ey, ez je báza jednotkových vektorov v danom priestore, a

je spojité diferencovateľné vektorové pole, potom jeho divergenciu definujeme ako skalárnu veličinu

Napriek tomu, že je divergencia definovaná v karteziánskych súradniciach, ide o invariantnú veličinu, ktorá nadobúda rovnaké hodnoty vo všetkých súradných sústavách.

V n-rozmernom priestore možno operátor divergencie vyjadriť prostredníctvom skalárneho súčinu operátoru nabla a vektoru v, tzn.

,

kde sa využilo Einsteinove sumačné pravidlo.

Operátor divergencie sa zapisuje aj ako


Deriváciou tenzora T n-tého stupňa dostaneme tenzor stupňa n+1 so zložkami . Kontrakciou indexu t proti indexu s získame divergenciu tenzoru T, čo je tenzor stupňa n-1.

Divergencia teda znižuje stupeň tenzoru o 1, napr. divergenciou vektora získame skalár.


Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ak označíme F, G ako vektorové polia, f ako skalárne pole, a,b reálne čísla, potom operátor divergencie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam

aplikovaná na súčin funkcie a vektorového poľa spĺňa identitu

.

Pre divergenciu vektorového súčinu platí

,

kde ∇ × F je rotácia F.

Ďalej divergencia rotácie sa rovná nule:

.

Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách[upraviť | upraviť zdroj]

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie divergencie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v  v daných súradniciach, tak platí

Vo valcových súradniciach:

Vo sférických súradniciach:

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x1,x2,x3, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h1,h2,h3

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí


Dohovor: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.