Vektorový súčin

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Vektorový súčin je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.

Označenie[upraviť | upraviť zdroj]

Vektorový súčin vektorov sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov:

  • - používaný vo frankofónnych krajinách
  • - používaný v Rusku

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Vektorový súčin vektorov a a b je definovaný ako vektor kolmý k vektorom a a b s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

kde θ je uhol zvieraný vektormi a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory a a b znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin a × b má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin , tak zložky vektora c možno určiť ako

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa

Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže
  • Ak pre dva nenulové vektory je ich vektorový súčin nulový, čiže , sú vektory rovnobežné.
  • Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy i, j, k, tak
  • V uvedenej báze možno vektorový súčin vektorov u, v zapísať pomocou determinantu ako

Výpočet[upraviť | upraviť zdroj]

Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

a = [a1, a2, a3]

a

b = [b1, b2, b3].

Potom

a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].


Použitie[upraviť | upraviť zdroj]

Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily , ktorý je definovaný kde je polohový vektor pôsobiska sily.