Matica (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu.

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má m riadkov a n stĺpcov, hovorí sa o matici typu m krát n. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny A hovorí sa o matici nad množinou A. Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

\begin{pmatrix}
3 & 0  & -6 & 4 & 11\\
6 & -1 & 4  & 1 & 13\\
\end{pmatrix}.

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako a_{ij}, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou \{0,1\} sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Operácie s maticami[upraviť | upraviť zdroj]

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice.

Sčítavanie matíc[upraviť | upraviť zdroj]

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}

Skalárne násobenie[upraviť | upraviť zdroj]

Každý prvok v matici A sa vynásobí číslom c. Napríklad:

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}

Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

Násobenie matíc[upraviť | upraviť zdroj]

Násobenie môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak A je m-krát-n matica a B je n-krát-r matica, tak ich maticový produkt AB má rozmery m-krát-r (m počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- r počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií [i,j] je:

\,\!
    (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[m,j]

pre každé i a j.

Napríklad:


    \begin{bmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
       -1 & 3 & 1 \\
    \end{bmatrix}
\times
    \begin{bmatrix}
        3 & 1 \\
        2 & 1 \\
        1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
=
    \begin{bmatrix}

        ( 1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1)
      & ( 1 \times 1  +  0 \times 1  +  2 \times 0) \\

        (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1)
      & (-1 \times 1  +  3 \times 1  +  1 \times 0) \\

    \end{bmatrix}

=
    \begin{bmatrix}
        5 & 1 \\
        4 & 2 \\
    \end{bmatrix}

Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:



    \begin{bmatrix}
        3 & 1 \\
        2 & 1 \\
        1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
\times
    \begin{bmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
       -1 & 3 & 1 \\
    \end{bmatrix}
=
    \begin{bmatrix}

        ( 3 \times 1  +  1 \times -1 )
      & ( 3 \times 0  +  1 \times 3 )
      & ( 3 \times 2  +  1 \times 1 ) \\

        ( 2 \times 1  +  1 \times -1 )
      & ( 2 \times 0  +  1 \times 3 )
      & ( 2 \times 2  +  1 \times 1 ) \\

        ( 1 \times 1  +  0 \times -1 )
      & ( 1 \times 0  +  0 \times 3 )
      & ( 1 \times 2  +  0 \times 1 ) \\

    \end{bmatrix}

=
    \begin{bmatrix}
        2 & 3 & 7\\
        1 & 3 & 5\\
        1 & 0 & 2\\
    \end{bmatrix}

Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí.

Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar[upraviť | upraviť zdroj]

Matice A a Briadkovo ekvivalentné vtedy (označujeme A \approx B), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných elementárne riadkové operácie:

  1. vzájomná výmena dvoch riadkov matice
  2. vynásobenie niektorého riadka nenulovým prvkom z A (predpokladáme, že A je okruh, alebo pole)
  3. prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému

\approx je reláciou ekvivalencie. Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.

Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.

Matica A je v stupňovitom tvare ak platí:

  • ak a_{ij} a a_{st} sú vedúce prvky A a i<s, tak potom nutne j<t
  • nad nenulovým riadkom v A nie je žiaden nulový.

Ak navyše platí, že:

  • vedúci prvok každého riadku je 1
  • ak stĺpec obsahuje vedúci prvok niektorého riadku, všetky jeho ostatné prvky sú nulové

tak sa A nazýva redukovaná stupňovitá matica.

Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.

Hodnosť matice[upraviť | upraviť zdroj]

Hodnosť matice je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]