Matica (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu.

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má riadkov a stĺpcov, hovorí sa o matici typu krát . Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny hovorí sa o matici nad množinou . Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako , pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Operácie s maticami[upraviť | upraviť zdroj]

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice.

Sčítavanie matíc[upraviť | upraviť zdroj]

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

Skalárne násobenie[upraviť | upraviť zdroj]

Každý prvok v matici A sa vynásobí číslom c. Napríklad:

Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

Násobenie matíc[upraviť | upraviť zdroj]

Násobenie môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak A je m-krát-n matica a B je n-krát-r matica, tak ich maticový produkt AB má rozmery m-krát-r (m počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- r počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií [i,j] je:

pre každé i a j.

Napríklad:

Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí.

Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar[upraviť | upraviť zdroj]

Matice A a Briadkovo ekvivalentné vtedy (označujeme ), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných elementárne riadkové operácie:

  1. vzájomná výmena dvoch riadkov matice
  2. vynásobenie niektorého riadka nenulovým prvkom z A (predpokladáme, že A je okruh, alebo pole)
  3. prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému

je reláciou ekvivalencie. Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.

Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.

Matica A je v stupňovitom tvare ak platí:

  • ak a sú vedúce prvky A a , tak potom nutne
  • nad nenulovým riadkom v A nie je žiaden nulový.

Ak navyše platí, že:

  • vedúci prvok každého riadku je 1
  • ak stĺpec obsahuje vedúci prvok niektorého riadku, všetky jeho ostatné prvky sú nulové

tak sa A nazýva redukovaná stupňovitá matica.

Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.

Hodnosť matice[upraviť | upraviť zdroj]

Hodnosť matice je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]