Vektorový podpriestor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Vektorový podpriestor alebo lineárny podpriestor je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.

Definícia[upraviť | upraviť kód]

Nech je vektorový priestor a nech je neprázdna podmnožina množiny . Potom nazývame podpriestor vektorového priestoru , ak spolu s operáciami tvorí vektorový priestor nad poľom .

Veta[upraviť | upraviť kód]

Nech je vektorový priestor a nech je neprázdna podmnožina množiny .Potom je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky a platí

  1. a)
  2. b)

Veta 1[upraviť | upraviť kód]

Podpriestory , majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú vektory a také, že platí

Špeciálny prípad vety 1.[upraviť | upraviť kód]

Priamky a majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou

Dôkaz[upraviť | upraviť kód]

  1. ,

Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.

Veta 2[upraviť | upraviť kód]

Ak a sú podpriestory s neprázdnym prienikom, tak ich prienik je afinný podpriestor so zameraním .

Dôkaz[upraviť | upraviť kód]

Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky:

  1. a) Ak body a patria do , tak vektor patrí do

.

  1. b) Ak bod patrí do a patrí do , tak bod patrí do .

Toto je však triviálne, lebo ak bod aj , tak pričom analogické tvrdenie platí pre vektory.

Veta 3[upraviť | upraviť kód]

Podpriestory a sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom ich prienik je (r − 1)-rozmerný podpriestor.

Náznak dôkazu[upraviť | upraviť kód]

Môžeme predpokladať, že podpriestory nie sú rovnobežné (t. j. ), pretože v opačnom prípade je už splnené tvrdenie vety. Z tohto predpokladu vyplýva, že existuje vektor a súčasne . Bez ujmy na všeobecnosti, môžeme vytvoriť bázu tak, aby . Nech . je bázou . (Z predpokladu vyplýva, že každý z vektorov je lineárnou kombináciou vektorov . Pretože je báza pomocou nich je možné vyjadriť aj vektor (A − B). Podľa vety 1. podpriestory a sú rôznobežné.

Dôsledky vety 3[upraviť | upraviť kód]

Z vety 3 vyplýva hneď niekoľko dôsledkov a síce:

  1. Dve priamky v nemôžu mať práve dva spoločné body.
  2. Dve priamky v sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
  3. Rovina a priamka v sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
  4. Dve roviny v sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

A mnohé ďalšie.

Literatúra[upraviť | upraviť kód]

  • M. Lavička: KMA/G1 Geometrie 1. Pomocný učebný text. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni. 2005, s. 7-11
  • M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 9-11

Pozri aj[upraviť | upraviť kód]

Externé odkazy[upraviť | upraviť kód]