Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy

Nech ${\mathcal {M}}={\text{span}}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n})$ je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n}$. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}$, že systém $\mathbf {X} \mathbf {c} =0$ má riešenie. Hľadáme také vektory $\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\cdots ,\mathbf {y} _{n}$ s vlastnosťou

$(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})=\left\{{\begin{array}{ll}1\,;&i=j\\0\,;&i\neq j\end{array}}\right.$

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Proces ortogonalizácie

Ortogonalizácia

Najprv teda položíme $\mathbf {x} _{1}=\mathbf {y} _{1}$. Postupujeme ďalšími vektormi, pričom sú dané rekurentným vzťahom

$\mathbf {y} _{k}=\mathbf {x} _{k}-{\frac {\langle \mathbf {y} _{1},\mathbf {x} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{1}\rangle }}\mathbf {y} _{1}-{\frac {\langle \mathbf {y} _{2},\mathbf {x} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{2}\rangle }}\mathbf {y} _{2}-\cdots -{\frac {\langle \mathbf {y} _{k-1},\mathbf {x} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} _{k-1},\mathbf {y} _{k-1}\rangle }}\mathbf {y} _{k-1}$

čo možno ekvivalentne prepísať do sumačného zápisu

$\mathbf {y} _{k}=\mathbf {x} _{k}-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {\langle \mathbf {y} _{i},\mathbf {x} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} _{i},\mathbf {y} _{i}\rangle }}\mathbf {y} _{i}$

Treba poznamenať vlastnosť $k\leq n$, kde $n=\dim {\mathcal {M}}$. Samotný ortogonalizačný proces využíva k ortogonalizácii operátor projekcie, ktorý je definovaný

${\text{proj}}_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )={\frac {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\mathbf {y}$

Ortogonálnou projekciou vektora $\mathbf {x}$ na priestor generovaný vektorom $\mathbf {y}$ nazývame vektor $\mathbf {y} '$ a platí $\mathbf {y} '\in {\text{span}}(\mathbf {y} )$. Týmto spôsobom sa nájde ortogonálna projekcia daného vektora. Vektor ortogonálny na priestor generovaný vektorom $\mathbf {y}$ je potom rozdiel $\mathbf {x} -\mathbf {y} '$. Platí teda, že skalárny súčin $\langle \mathbf {x} -\mathbf {y} ',\mathbf {y} \rangle$ je nulový.

Normalizácia

Ortogonalizované vektory sa následne normalizujú na spoločnú jednotkovú dĺžku. Po tomto, dostaneme výsledný ortonormálny vektor $\mathbf {q} _{i}$, preto môžeme písať

$\mathbf {q} _{i}={\frac {\mathbf {y} _{i}}{\Vert \mathbf {y} _{i}\Vert }}$

Ide o symbolický zápis súčinu každej zložky vektora $\mathbf {y} _{i}$ prevrátenou hodnotu normy tohto vektora. Odtiaľ

$\mathbf {q} _{i}=\left({\frac {q_{1}}{\Vert \mathbf {y} _{i}\Vert }},{\frac {q_{2}}{\Vert \mathbf {y} _{i}\Vert }},\cdots ,{\frac {q_{n}}{\Vert \mathbf {y} _{i}\Vert }}\right)$

Pod normou vektora $\Vert \mathbf {q} _{i}\Vert$ sa chápe norma definovaná nasledovne

$\Vert \mathbf {y} _{i}\Vert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} _{i},\mathbf {y} _{i}\rangle }}$

Príklad

Majme vektorový priestor $\mathbb {R} ^{2}$ generovaný dvojicou lineárne nezávislých vektorov $\left\{(1,1)^{T},(1/2,2)^{T}\right\}$. Postupujeme najprv voľbou $\mathbf {y} _{1}=(1,1)^{T}$. Teraz od tohto vektora bude závisieť druhý. Použijeme vzťah pre ortogonalizáciu ďalších vektorov a dostávame rovnosť

$\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}1/2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {(1,1){\begin{pmatrix}1/2\\2\end{pmatrix}}}{(1,1){\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {5}{4}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3/4\\3/4\end{pmatrix}}$

Výsledný vektor je ortogonálny vektor k vektoru $(1,1)^{T}$. Teraz ho treba znormalizovať. Vektory generujú obyčajný euklidovský dvojrozmerný priestor, stačí preto použiť euklidovskú normu

$\left\Vert {\begin{pmatrix}-3/4\\3/4\end{pmatrix}}\right\Vert ={\sqrt {{\frac {9}{16}}+{\frac {9}{16}}}}={\frac {3}{2{\sqrt {2}}}}$

Výsledný ortonormálny vektor bázy bude mať tvar

$\mathbf {q} _{2}=\left(-{\frac {\sqrt {2}}{2}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$

Podobným spôsobom sa znormalizuje vektor $(1,1)^{T}$, ktorého norma je $\Vert (1,1)^{T}\Vert ={\sqrt {2}}$ a odtiaľ

$\mathbf {q} _{1}=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$

Ľahko možno skalárnym súčinom overiť, že vektory sú skutočne ortogonálne.

Použitie ortogonalizácie na iné priestory

Gram-Schmidtov proces sa však nemusí používať výlučne pre euklidovské priestory $\mathbb {R} ^{n}$. Môže sa použiť taktiež na ortogonalizáciu funkcií v priestore funkcií so skalárnym súčinom

$\langle f(x),g(x)\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,{\text{d}}x$

Pomocou ortogonalizačného procesu možno vytvoriť Legendrove polynómy, ktoré sú prvky priestoru funkcií so skalárnym súčinom

$\langle P_{1}(x),P_{2}(x)\rangle =\int _{-1}^{1}P_{1}(x)P_{2}(x)\,{\text{d}}x$

Externé odkazy

• EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY