Ortonormálna báza

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Ortonormálna báza unitárneho priestoru je pojem z lineárnej algebry a fukcionálnej analýzy, označuje podpriestor tohto vektorového priestoru, ktorého prvky sú normované a navzájom ortogonálne.

Tento pojem je dôležitý pre konečno rozmerné ako aj nekonečno rozmerné priestory a špeciálne pre Hilbertové priestory.

Konečno rozmerné priestory[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor so skalárnym súčinom , ktorý indukuje normu: . Pod ortonormálnou bázou priestoru potom rozumieme bázu z s týmito vlastnosťami:

  • pre všetky .
  • pre všetky s .

Napríklad nasledujúca množina je ortonormálnou bázou euklidovského vektorového priestoru (spolu s prirodzene definovaným skalárnym súčinom).

Každý z týchto vektorov má dĺžku 1 a všetky sú na seba kolmé pretože ich skalárny súčin je nula.

Všeobecný prípad[upraviť | upraviť zdroj]

Vo všeobecnom prípade unitárneho priestoru nekonečnej dimenzie, nazývame ortonormálnym systémom vo taký systém, ktorého lineárny obal leží husto vo .

Úplný ortonormálny systém má preto tú vlastnosť, že pre každý prvok môžeme písať fourierov rozvoj:

.

Je dôležité zdôrazniť, že v zmysle tohto odseku, v protiklade k prípadu s konečnou dimenziou, nie je ortonormálna báza žiadnou bázou v bežnom zmysle lineárnej algebry. To znamená, že prvok sa nedá vo všeobecnosti napísať ako lineárna kombinácia konečného počtu bázových vektorov (prvkov z ), ale len ako suma spočítateľného nekonečného počtu prvkov z , teda ako nekonečný rad. Inými slovami: Lineárny obal nie je rovný priestoru , leží ale husto v tomto priestore.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]