Vektorový priestor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
(Presmerované z Lineárny priestor)
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovboľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému , priradený prvok , pričom:

1) je komutatívna grupa

pre ľubovoľné , V a c,d F platí:

2) (distributívny zákon)
3)
4) (asociativita)
5)

potom je vektorový priestor nad poľom .

Vektorové priestory vo fyzike[upraviť | upraviť zdroj]

Bra-Ket formalizmus[upraviť | upraviť zdroj]

Vektory tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

,

kde hviezdička označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechanikyket-vektory vlnové funkcie a bra-vektory sú komplexne združené vlnové funkcie . Skalárny súčin

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor a bra-vektor . Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

.

Dôsledkom toho je, že je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

.

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru . V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

, ktorý má zjavne vlastnosť , rovnako ako

má vlastnosť , pretože je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že a vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo .

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]