Projekčná matica (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Projekčná matica (alebo skrátene tiež projektor) je v lineárnej algebre a matematickej analýze lineárne zobrazenie (lineárny operátor) {\mathbf P}, ktoré je symetrické a idempotentné. Ide o štvorcovú maticu rozmeru n \times n. Tieto matice majú okrem lineárnej algebry veľký význam napríklad aj v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože vďaka nim vieme vyjadrovať projekcie vektorov na rôzne lineárne podpriestory.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme lineárny podpriestor \mathcal{A} \sub {\mathbf R}^n. Maticu {\mathbf P} nazývame projektorom (projekčnou maticou) na tento lineárny podpriestor \mathcal{A} práve vtedy, ak sú splnené nasledovné podmienky:

  1. Matica {\mathbf P} je symetrická, teda: {\mathbf P}^T = {\mathbf P}
  2. Matica {\mathbf P} je idempotentná, teda: {\mathbf P}^2 = {\mathbf P}
  3. Projekčná matica {\mathbf P} zobrazí každý vektor do daného lineárneho podpriestoru, teda: \forall {\mathbf x} \in R^n: {\mathbf P}{\mathbf x} \in \mathcal{A}
  4. Každý prvok, ktorý už leží v danom podpriestore \mathcal{A} zobrazí projekčná matica na ten istý prvok, teda: \forall{\mathbf y} \in \mathcal{A} : {\mathbf P}{\mathbf y} = {\mathbf y}

Ďalšie vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Uvažujme projektor {\mathbf P} definovaný v definícii vyššie. Ak preň platí ešte nasledovná podmienka:

\forall{\mathbf x}, {\mathbf y} \in {\mathbf R}^n : \langle {\mathbf x}, {\mathbf Py} \rangle = \langle {\mathbf Px}, {\mathbf y} \rangle

tak hovoríme, že daný projektor je ortogonálny vzhľadom na uvedený skalárny súčin.

Pokiaľ máme maticu {\mathbf M}, ktorá je typu n \times m, pričom jej hodnosť je m, tak potom matica {\mathbf P} určená nasledovným vzťahom:

{\mathbf P} = {\mathbf M}({\mathbf M}^T {\mathbf M})^{-1}{\mathbf M}^T

je ortogonálny projektor na podpriestor \mathcal{A}({\mathbf M}), ktorý je generovaný lineárne nezávislými stĺpcami matice {\mathbf M}, a na ktorom je definovaný skalárny súčin \langle {\mathbf a}, {\mathbf b} \rangle = {\mathbf a}^T {\mathbf b}.

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Vybrané partie z matematiky, s. 288.
  • Projection Matrix [online]. mathworld.wolfram.com, [cit. 2013-10-19]. Dostupné online. (po anglicky)
  • HARMAN, Radoslav. Mnohorozmerné štatistické analýzy [online]. Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky UK v BA, 2013-03-06, [cit. 2013-10-20]. Dostupné online.