Projekčná matica (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Projekčná matica (alebo skrátene tiež projektor) je v lineárnej algebre a matematickej analýze lineárne zobrazenie (lineárny operátor) , ktoré je symetrické a idempotentné. Ide o štvorcovú maticu rozmeru . Tieto matice majú okrem lineárnej algebry veľký význam napríklad aj v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože vďaka nim vieme vyjadrovať projekcie vektorov na rôzne lineárne podpriestory.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme lineárny podpriestor . Maticu nazývame projektorom (projekčnou maticou) na tento lineárny podpriestor práve vtedy, ak sú splnené nasledovné podmienky:

  1. Matica je symetrická, teda:
  2. Matica je idempotentná, teda:
  3. Projekčná matica zobrazí každý vektor do daného lineárneho podpriestoru, teda: :
  4. Každý prvok, ktorý už leží v danom podpriestore zobrazí projekčná matica na ten istý prvok, teda:

Ďalšie vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Uvažujme projektor definovaný v definícii vyššie. Ak preň platí ešte nasledovná podmienka:

tak hovoríme, že daný projektor je ortogonálny vzhľadom na uvedený skalárny súčin.

Pokiaľ máme maticu , ktorá je typu , pričom jej hodnosť je , tak potom matica určená nasledovným vzťahom:

je ortogonálny projektor na podpriestor , ktorý je generovaný lineárne nezávislými stĺpcami matice , a na ktorom je definovaný skalárny súčin .

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Vybrané partie z matematiky, s. 288.
  • Projection Matrix [online]. mathworld.wolfram.com, [cit. 2013-10-19]. Dostupné online. (po anglicky)
  • HARMAN, Radoslav. Mnohorozmerné štatistické analýzy [online]. Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky UK v BA, 2013-03-06, [cit. 2013-10-20]. Dostupné online.