Determinant (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Grafické znázornenie Sarrusovho pravidla

Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

Značenie[upraviť | upraviť zdroj]

Determinant matice \mathbf{A} značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky \mathbf{a}_{ij} nasledovným spôsobom:

\det \mathbf{A}

V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov \mathbf{a}_{ij} matice \mathbf{A} používame nasledujúce značenie:


\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix},

Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie:

\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}.

Definícia determinantu[upraviť | upraviť zdroj]

Všeobecná definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu \mathbf{A} = ({a_i}_j) \, rozmeru n \times n definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):

\det\mathbf{A} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n {a}_{i,\sigma(i)}

Znak \sum_{\sigma \in S_n} znamená sumu cez všetky permutácie \sigma čísel {1,2, \cdots, n}. Znakom \sgn(\sigma) označujeme znamienko permutácie \sigma. Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel {1,2, \cdots, n} sa v Leibnitzovej formule vyskytuje n! sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.

Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n}:

\det \mathbf{A} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{j_1 1} a_{j_2 2} \cdots a_{j_n n}

Špeciálny prípad[upraviť | upraviť zdroj]

Matica rádu 1[upraviť | upraviť zdroj]

Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla \mathbf{{a_1}_1}. Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku:

\det\mathbf{A} = {a_1}_1 \,

Matica rádu 2[upraviť | upraviť zdroj]

Pre maticu rádu dva (teda rozmeru 2×2) vedie obecná definícia k nasledujúcemu vzorcu:

\det\mathbf{A} = {a_1}_1{a_2}_2 - {a_2}_1{a_1}_2 \,

Matica rádu 3[upraviť | upraviť zdroj]

Maticu rádu tri (teda rozmeru 3×3) je možné indexovať troma číslami: 1, 2 a 3. Výsledný vzorec bude preto obsahovať šesť sčítancov, pretože podľa definície sumujeme cez všetky permutácie takýchto indexov:


\det\mathbf{A} = {a_1}_1{a_2}_2{a_3}_3 + {a_1}_3{a_2}_1{a_3}_2 + {a_1}_2{a_2}_3{a_3}_1 -
          {a_1}_3{a_2}_2{a_3}_1 - {a_1}_1{a_2}_3{a_3}_2 - {a_1}_2{a_2}_1{a_3}_3
\,

Vhodnou mnemotechnickou pomôckou pre výpočty podľa vyššie uvedeného vzorca sa ukazuje byť takzvané Sarrusovo pravidlo.

Výpočet determinantu[upraviť | upraviť zdroj]

Determinant môžeme vypočítať viacerými spôsobmi.

Sarrusovo pravidlo[upraviť | upraviť zdroj]

Sarrusovo pravidlo má viacero podôb. Všeobecne (a najčastejšie) sa využíva pre počítanie determinantu matíc typu 3 x 3.

Postup: K matici pripíšeme na pravú stranu ešte raz jej prvý a druhý stĺpec v tomto poradí. Potom vyrátame všetky diagonálne súčiny, ktoré majú po tri činitele. Spolu je takýchto súčinov šesť. Výslednú sumu tvorí súčet týchto šiestich súčinov, pričom zo znamienkom "+" sú tie tri z nich, ktoré sú rovnobežné s hlavnou diagonálou, so znamienkom "-" sú zvyšné tri z nich, tj. tie, ktoré sú rovnobežné s vedľajšou diagonálou.

Názorná schéma:

\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32}\end{matrix}

Teda:
a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Laplaceova veta o rozvoji determinantu podľa jedného riadka, resp. stĺpca[upraviť | upraviť zdroj]

Majme štvorcovú maticu A = (a_{ij}) \in M_{n,n}(R). Potom pre každé t \in {1, ..., n} existuje nasledujúce vyjadrenie rozvoja determinantu matice A podľa t-teho riadka:

det(A) = \sum_{k=1}^n a_{tk}(-1)^{t+k} det(M_{tk})

pričom matica M_{tk} je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním t-teho riadka a k-teho stĺpca. Analogicky sa dá odvodiť vzorec pre rozvoj determinantu podľa t-teho stĺpca:

det(A) = \sum_{k=1}^n a_{kt}(-1)^{k+t} det(M_{kt})

pričom matica M_{kt} je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním k-teho riadka a t-teho stĺpca.

Všeobecná Laplaceova veta o rozvoji determinantu[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je daná matica A = (a_{ij}) \in M_{n,n}(R). Pevne zvoľme čísla i_{1}, ..., i_{k} (kde k je ľubovoľné, pevne zvolené číslo z množiny {1, ..., n - 1}) také, že: i_{1} < i_{2} < ... < i_{k}.

Potom:

det(A) = \sum_{1<={j}_1<...<j_{k}<=n} det(A_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}}) . (-1)^{i_{1} + ... + i_{k} + j_{1} + ... + j_{k}} . det(M_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}})

kde:

  • A_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}} je podmatica matice A = (a_{ij} \in M_{n,n}(R)) typu k x k, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami i_{1}, ... , i_{k} a stĺpcov s indexami j_{1}, ... , j_{k} (pričom platí: j_{1} < j_{2} < ... < j_{k}).
  • M_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}} je matica typu (n-k) x (n-k), ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami i_{1}, ... , i_{k} a stĺpcov s indexami j_{1}, ... , j_{k}
  • Algebraický doplnok determinantu det(A_{j_1, ..., j_k}^{i_1, ..., i_k}) je prvok takéhoto tvaru: (-1)^{i_1 + ... + i_k + j_1 + ... + j_k} . det(M_{j_1, ..., j_k}^{i_1, ..., i_k})

Základné vlastnosti determinantov[upraviť | upraviť zdroj]

  • Pre každú štvorcovú maticu A = M_{n,n}(R) platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda det(A) = det(A^T)
  • Ak matica B vznikne z matice A = M_{n,n}(R) vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápo rnej hodnote determinantu matice A, teda
det(B) = - det(A)
  • Nech A = (a_{ij}) je štvorcová matica stupňa n nad daným poľom R. Potom pre každe r, s \in {1, ..., n} existuje algebraický doplnok A_{rs} a má tvar:
A_{rs} = (-1)^{r + s} det(M_{rs})

pričom M_{rs} je štvorcová matica typu (n - 1) \times (n - 1), ktorá vznikne z matice A vynechaním r-tého riadka a s-tého stĺpca.

  • Ak matica A = (a_{ij}) \in M_{n,n} (R) (n>=2) má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:
det(A) = 0
  • Ak matica B vznikne z matice A = (a_{ij}) \in M_{n,n} (R) tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme \delta \in R, tak:
det(B) = \delta det(A)
  • Nech sú dané dve matice: A = (a_{ij}), B = (B_{ij}) \in M_{n,n}(R). Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom k-tom riadku, pre niektoré k \in {1, ..., n}, tak potom platí:
det(A) + det(B) = det \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{k - 1, 1} & ... & a_{k - 1, n} \\a_{k1} + b_{k1} & ... & a_{kn} + b_{kn} \\ a_{k + 1, 1} & ... & a_{k + 1, n} \\ ...& ... & ... \\a_{n1} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}
  • Ak je v matici A \in M_{n,n} (R) aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:
det(A) = 0
  • Majme maticu A = (a_{ij}) \in M_{n,n}(R), (n>=2). Ak matica B vznikne z matice A prirátaním \alpha-násobku (\alpha \in R) hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v A. Potom platí:
det(B) = det(A)

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]