Determinant (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Grafické znázornenie Sarrusovho pravidla

Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

Značenie[upraviť | upraviť zdroj]

Determinant matice značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky nasledovným spôsobom:

V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov matice používame nasledujúce značenie:

,

Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie:

.

Definícia determinantu[upraviť | upraviť zdroj]

Všeobecná definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu rozmeru definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):

Znak znamená sumu cez všetky permutácie čísel . Znakom označujeme znamienko permutácie . Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel sa v Leibnitzovej formule vyskytuje sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.

Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu :

Špeciálny prípad[upraviť | upraviť zdroj]

Matica rádu 1[upraviť | upraviť zdroj]

Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla . Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku:

Matica rádu 2[upraviť | upraviť zdroj]

Pre maticu rádu dva (teda rozmeru 2×2) vedie obecná definícia k nasledujúcemu vzorcu:

Matica rádu 3[upraviť | upraviť zdroj]

Maticu rádu tri (teda rozmeru 3×3) je možné indexovať troma číslami: 1, 2 a 3. Výsledný vzorec bude preto obsahovať šesť sčítancov, pretože podľa definície sumujeme cez všetky permutácie takýchto indexov:

Vhodnou mnemotechnickou pomôckou pre výpočty podľa vyššie uvedeného vzorca sa ukazuje byť takzvané Sarrusovo pravidlo.

Výpočet determinantu[upraviť | upraviť zdroj]

Determinant môžeme vypočítať viacerými spôsobmi.

Sarrusovo pravidlo[upraviť | upraviť zdroj]

Sarrusovo pravidlo má viacero podôb. Všeobecne (a najčastejšie) sa využíva pre počítanie determinantu matíc typu 3 x 3.

Postup: K matici pripíšeme na pravú stranu ešte raz jej prvý a druhý stĺpec v tomto poradí. Potom vyrátame všetky diagonálne súčiny, ktoré majú po tri činitele. Spolu je takýchto súčinov šesť. Výslednú sumu tvorí súčet týchto šiestich súčinov, pričom zo znamienkom "+" sú tie tri z nich, ktoré sú rovnobežné s hlavnou diagonálou, so znamienkom "-" sú zvyšné tri z nich, tj. tie, ktoré sú rovnobežné s vedľajšou diagonálou.

Názorná schéma:



Teda:

Laplaceova veta o rozvoji determinantu podľa jedného riadka, resp. stĺpca[upraviť | upraviť zdroj]

Majme štvorcovú maticu . Potom pre každé existuje nasledujúce vyjadrenie rozvoja determinantu matice A podľa t-teho riadka:

pričom matica je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním t-teho riadka a k-teho stĺpca. Analogicky sa dá odvodiť vzorec pre rozvoj determinantu podľa t-teho stĺpca:

pričom matica je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním k-teho riadka a t-teho stĺpca.

Všeobecná Laplaceova veta o rozvoji determinantu[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je daná matica . Pevne zvoľme čísla (kde k je ľubovoľné, pevne zvolené číslo z množiny {1, ..., n - 1}) také, že: .

Potom:

kde:

  • je podmatica matice typu k x k, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami a stĺpcov s indexami (pričom platí: ).
  • je matica typu (n-k) x (n-k), ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami a stĺpcov s indexami
  • Algebrický doplnok determinantu je prvok takéhoto tvaru:

Základné vlastnosti determinantov[upraviť | upraviť zdroj]

  • Pre každú štvorcovú maticu platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda
  • Ak matica B vznikne z matice vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápornej hodnote determinantu matice A, teda
  • Nech je štvorcová matica stupňa n nad daným poľom R. Potom pre každé existuje algebrický doplnok a má tvar:

pričom je štvorcová matica typu , ktorá vznikne z matice A vynechaním r-tého riadka a s-tého stĺpca.

  • Ak matica () má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:
  • Ak matica B vznikne z matice tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme , tak:
  • Nech sú dané dve matice: , . Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom k-tom riadku, pre niektoré , tak potom platí:
  • Ak je v matici aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:
  • Majme maticu , (). Ak matica B vznikne z matice A prirátaním -násobku () hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v A. Potom platí:

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]