Lineárne zobrazenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory prípadne .

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech sú vektorové priestory nad telesom . Zobrazenie sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:


Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Zobrazenie nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)


Tu ale neplatí , pretože . Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia[upraviť | upraviť zdroj]

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať


Vektor je chápaný ako matica . Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) . Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu . Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti


kde vektor je k-ty jednotkový vektor a je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Nájdime maticu lineárneho zobrazenia , ktoré ku každému vektoru priradí jeho -násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).



Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom



Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory ortonormálnej bázy priestoru , keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj -násobok, teda



Matica tohto lineárneho zobrazenia je


Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia je jeho -násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení[upraviť | upraviť zdroj]

Zobrazenie Matica zobrazenia
-násobok vektora
rotácia roviny o uhol
osová súmernosť podľa osi x
osová súmernosť podľa osi y
kolmá projekcia na os x

Základná veta o lineárnych zobrazeniach[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je ľubovolná báza vektorového priestoru a nech sú ľubovolné vektory priestoru . Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie pre ktoré platí: , , ... ,

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Chalmovianský. P: Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2010, s. 2-5
  • Zlatoš. P: Lineárna algebra a geometria. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2011, s. 122-134