Lineárne zobrazenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Mnoho lineárnych zobrazení možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory \mathbb{R}^2 prípadne \mathbb{R}^3.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech N,M sú vektorové priestory nad telesom K. Zobrazenie \varphi:N\to M sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:

\begin{array}{ll}(\textrm{i})&\varphi(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\varphi(\mathbf{x})+\varphi(\mathbf{y})\\(\textrm{ii})&\varphi(\alpha\cdot\mathbf{x})=\alpha\cdot\varphi(\mathbf{x})\end{array}

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Zobrazenie \omega:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2,\mathbf{x}\longrightarrow\mathbf{x}+k;\;k\geq 1 nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)
\omega(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\mathbf{x}+\mathbf{y}+k
\omega(\mathbf{x})+\omega(\mathbf{y})=(\mathbf{x}+k)+(\mathbf{y}+k)=\mathbf{x}+\mathbf{y}+2k

Tu ale neplatí \omega(\mathbf{x}+\mathbf{y})\ne\omega(\mathbf{x})+\omega(\mathbf{y}), pretože \mathbf{x}+\mathbf{y}+k\ne\mathbf{x}+\mathbf{y}+2k. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia[upraviť | upraviť zdroj]

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak \varphi je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať

\varphi(\mathbf{x})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x};\;\mathbf{A}=\Vert a_{ij}\Vert_{m,n}

Vektor \mathbf{x} je chápaný ako matica \mathbf{x}=\Vert x_{i}\Vert_{m,1}. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice \mathbf{A} je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) \mathbf{x}. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu m,1. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti

\varphi(e_k)=\mathbf{A}\cdot e_k=a_k

kde vektor e_k je k-ty jednotkový vektor a a_k je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Nájdime maticu \mathbf{A} lineárneho zobrazenia \varphi, ktoré ku každému vektoru \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2 priradí jeho \lambda-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).

\varphi(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\lambda(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\lambda\cdot\mathbf{x}+\lambda\cdot\mathbf{y}
\varphi(\mathbf{x})+\varphi(\mathbf{y})=(\lambda\cdot\mathbf{x})+(\lambda\cdot\mathbf{y})=\lambda\cdot\mathbf{x}+\lambda\cdot\mathbf{y}

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom

\varphi(\alpha\cdot\mathbf{x})=\lambda(\alpha\cdot\mathbf{x})=\alpha\cdot\lambda\cdot\mathbf{x}
\alpha\cdot\varphi(\mathbf{x})=\alpha(\lambda\cdot\mathbf{x})=\alpha\cdot\lambda\cdot\mathbf{x}

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 ortonormálnej bázy priestoru \mathbb{R}^2, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj \lambda-násobok, teda

\mathbf{e}_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\;\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}\;\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda\\0\end{array}\right)
\mathbf{e}_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\;\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}\;\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\\lambda\end{array}\right)

Matica tohto lineárneho zobrazenia je

\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}\lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)_{2\times2}

Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru \mathbb{R}^2 dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia \varphi je jeho \lambda-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom

\left(\begin{array}{cc}\lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\varphi(\mathbf{x})

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení[upraviť | upraviť zdroj]

Zobrazenie Matica zobrazenia
\lambda-násobok vektora \left(\begin{array}{cc}\lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)
rotácia roviny o uhol \gamma \left(\begin{array}{cc}\cos\gamma&-\sin\gamma\\\sin\gamma&\cos\gamma\end{array}\right)
osová súmernosť podľa osi x \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)
osová súmernosť podľa osi y \left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right)
kolmá projekcia na os x \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)