Lineárna kombinácia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Lineárnou kombináciou prvkov (vektorov) vektorového priestoru rozumieme nový prvok (vektor), ktorý tomuto priestoru taktiež náleží. Vektorový priestor je generovaný jeho bázovými vektormi. Každý prvok tohto priestoru sa teda dá vyjadriť ako lineárna kombinácia jeho bázových vektorov.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech \mathcal{V} je vektorový priestor nad poľom \mathbb{K}. Nech \{c_{j},j=1,2,\cdots,n\}\subset\mathbb{K} a \{\mathbf{v}_{j},j=1,2,\cdots,n\}\subset\mathcal{V}. Potom lineárnou kombináciou \mathbf{v} rozumieme vektor

\mathbf{v}=\sum_{j=1}^{n}c_j\mathbf{v}_j

Vektormi nemusíme nutne chápať n-tice čísel, ale aj funkcie a iné matematické objekty. Napríklad lineárnou kombináciou na priestore polynómov je nový polynóm

f=\sum_{j=1}^{n}c_jf_j

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Sú dané lineárne nezávislé polynómy f_1(x)=x^2-x,\,f_2(x)=x+2,\,f_3(x)=1. Lineárnu kombináciu f(x)=x^2+4x+4 dosiahneme voľbou

f=1\cdot f_1+5\cdot f_2-6\cdot f_3