Pás (algebra)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Pás je pologrupa, ktorej operácia je idempotentná. To znamená, že pre každý prvok a pásu platí

a\cdot a=a.

Pojem pásu nachádza dôležité uplatnenie v rôznych matematických odvetviach, najmä však v teoretickej počítačovej vede.

Jednoduché príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  • Ľubovoľný zväz tvorí pás vzhľadom ku obidvom svojim zväzovým operáciám. Napríklad množina reálnych čísel spolu s operáciou, ktorá každej dvojici čísel priradí to väčšie z nich, je pás. Ale tá istá množina tvorí pás aj vzhľadom k operácii, ktorá každej dvojici čísel priradí to menšie z nich.
  • Nech a je ľubovoľné, ale pevne zvolené číslo z jednotkového intervalu [0,1]. Jednotkový interval tvorí pás vzhľadom k binárnej operácii
x\cdot y = \min\{\max\{x,y\},\max\{a,\min\{x,y\}\}\}
  • Ľubovoľná množina spolu s operáciou ľavej alebo pravej projekcie tvorí pás.

Špeciálne triedy pásov[upraviť | upraviť zdroj]

Polozväzy[upraviť | upraviť zdroj]

Každý komutatívny pás je polozväz (v algebrickom zmysle slova) a naopak.

Štvoruholníkové, pravo-nulové a ľavo-nulové pásy[upraviť | upraviť zdroj]

Štvoruholníkový pás je pás, v ktorom pre každé tri prvky x, y, z platí

x\cdot y\cdot z = x\cdot z

Tejto vlastnosti sa niekedy hovorí štvoruholníková vlastnosť.

Napríklad pre dané ľubovolné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na I \times J predpisom

(i, j) \cdot (k, l) = (i, l)

Výsledná pologrupa je štvoruholníkový pás, lebo

  1. pre každý pár (i,j) máme (i, j) \cdot (i, j) = (i,j)
  2. pre každé 3 páry \big (i_x, j_x), (i_y, j_y), (i_z, j_z) máme

  (i_x, j_x) \cdot (i_y, j_y) \cdot (i_z, j_z) = (i_x, j_z) =  (i_x, j_x) \cdot (i_z, j_z)

Ľavo-nulový pás je pás splňujúci xy = y. Symetricky pravo-nulový pás splňuje xy = x. V určitých pravo-nulových a ľavo-nulových pásoch sú štvoruholníkové pásy a fakticky každý štvoruholníkový pás je izomorfný k direktnému súčinu ľavo-nulového pásu a pravo-nulového pásu.

Regulárne pásy[upraviť | upraviť zdroj]

Regulárny pás je pás, v ktorom pre každé tri prvky x, y, z platí

x\cdot y\cdot x\cdot z\cdot x = x\cdot y\cdot z\cdot x

Zväz variet pásov[upraviť | upraviť zdroj]

Zväz variet pásov je spočítateľný. Vyplýva to z toho, že každá equacionálna trieda pásov je určená konečným počtom identít. Variety polozväzov, pravo-nulových a ľavo-nulových pásov predstavujú tri netriviálne minimálne prvky tohoto zväzu.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  • CLIFFORD, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (1972). The Algebraic Theory of Semigroups, Russian translation, Moskva: Mir.
  • NAGY, Attila (2001). Special Classes of Semigroups. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-6890-8.