Relácia kongruencie (algebra)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Jump to navigation Jump to search

Relácia kongruencie alebo kongruencia je ekvivalencia na algebre, ktorá je zlučiteľná so všetkými operáciami na tejto algebre (teda napríklad, ak sú tri páry prvkov ekvivalentné a výsledky nejakej operácie na týchto pároch sú tiež ekvivalentné, potom existuje pre tieto páry zhodnosť).

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Predpokladajme, že je algebrická štruktúra s množinou prvkov a operáciami , operácia je - árna. Predpokladajme ďalej, že je relácia ekvivalencie na množine . je kongruencia na , ak pre každú z vymenovaných operácií platí:

Táto oficiálna definícia hovorí v podstate to isté, čo úvodné priblíženie - ak sú operandy na rovnakom mieste po dvoch ekvivalentné, potom musia aj výsledky operácie byť ekvivalentné.

Príklad - zhodnosť zvyškových tried[upraviť | upraviť zdroj]

Kongruencia čísel je úzko spätá s ich deliteľnosťou a so zvyškovými triedami. Jednoducho povedané, dve čísla sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný modulom, teda po delení modulom dávajú rovnaký zvyšok. Spomínaná ekvivalencia je v tom, že obe čísla dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom, t. j. patria do tej istej zvyškovej triedy.

Hovoríme, že dve čísla sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný číslom , ktoré nazývame modulo. Formálne

Predchádzajúci zápis sa môže ekvivalentne prepísať na tvar



Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Z predchádzajúceho vidno, že číslo dáva po delení modulom zvyšok . Pomocou axióm modulárnej aritmetiky je možné ľahko dokázať deliteľnosť veľkých čísel určitým modulom. Je zrejmé, že číslo 4 dáva po delení číslom (modulom) 3 zvyšok 1. Ale aj čísla 7,10,13,16 ... dávajú ten istý zvyšok a teda platí


Odtiaľ vyplýva, že podľa relácie kongruencie sú čísla 4, 7, 10,... ekvivalentné, lebo dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom 3.[1]

Vlastnosti kongruencií[upraviť | upraviť zdroj]

Relácia kongruencie je reláciou ekvivalencie a teda je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
1. reflexívnosť


Dôkaz spočíva v použití definície kongruencie. Teda má platiť , čo je zrejme pravda, pretože .
2. symetria


Aj táto vlastnosť je jednoducho dokázateľná priamo z definície. Čiže , čo sa dá prepísať , po úprave .
3. tranzitívnosť


Dôkaz:

Súčtom oboch rovností vznikne nová rovnica

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Názorný príklad ukazuje, že číslo je deliteľné desiatimi. Ak si zápis prepíšeme do formy kongruencie, potom

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. KOŘÍNEK, Vladimír. Základy algebry [online]. Praha : Nakladatelství československé akademie věd, 1953, [cit. 1953-06-01]. (český)