Stirlingova aproximácia

Rýchlosť konvergencie (n ln n − n) ku (ln n!) pri rastúcom n: pri veľkom n je aproximácia veľmi presná

Stirlingova approximácia, tiež nazývaná ako Stirlingova formula je približný vzťah pre výpočet veľkých faktoriálov. Je pomenovaná po Jamesovi Stirlingovi, škótskom matematikovi.

Zjednodušená (a menej presná aproximácia), znie nasledovne:

$\ln(n!)\approx n\ln n-n+1.$$\ln(n!)\approx n\ln n-n+1.$

Táto aproximácia sa tiež nazýva po Stirlingovi. Pre presnejšie vyjadrenie je tu samotná Stirlingova approximácia

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Odvodenie

Nasledovné odvodenie je len pre zjednodušenú aproximáciu, ktorá je však väčšinou postačujúca. Namiesto toho aby sme aproximovali n!, vyjadríme si prirodzený logaritmus tohoto faktoriálu:

$\ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.$$\ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.$

Musíme si pravú stranu predstaviť ako určitý integrál zjednodušený podľa lichobežníkového pravidla. Ak by sme x-ovú os rozdelili po jednotkových intervaloch, ide vlastne o výpočet integrálu $\int _{1}^{n}\ln(x)\,dx$$\int _{1}^{n}\ln(x)\,dx$ podľa lichobežníkového pravidla.

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x$$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x$

$\int _{1}^{n}\ln(x)\,dx=[x\ln(x)-x]_{1}^{n}=n\ln(n)-n+1$$\int _{1}^{n}\ln(x)\,dx=[x\ln(x)-x]_{1}^{n}=n\ln(n)-n+1$

Táto aproximácia je zaťažená chybou, ktorá sa dá odhadnúť na základe určitých pravidiel a jej započítanie vedie k presnejšej Stirlingovej formule.

Táto aproximácia je veľmi dôležitá v štatistike, keďže vo výrazoch pre pravdepodobnosť často figurujú faktoriály. V štatistickej termodynamike sa vďaka nej dajú odvodiť niektoré vzorce zo základných princípov.

Pozri aj

• Faktoriál
• Zmiešavacia entropia