Trojčlenka

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Trojčlenka je jednoduchá matematická metóda pre výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny v závislosti od veličiny podľa vzorca pričom je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny a sú v priamej úmere. Ich podiel je rovný konštante . Pokiaľ sa veličina zdvojnásobí, prípadne ztrojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne ztrojnásobí aj veličina .

Úlohy[upraviť | upraviť zdroj]

Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Vypočty môžeme robiť postupne alebo popísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

Metóda postupného výpočtu[upraviť | upraviť zdroj]

Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky? Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy. Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje konzervy. Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

Trojčlenka v nepriamej úmernosti[upraviť | upraviť zdroj]

Trojčlenka v nepriamej úmernosti je založená na tom, že veličina závisí na veličine , podľa vzorca, kde je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny a sú nepriamo úmerné. Ich súčin je konštantný. Pokiaľ sa veličina zdvojnásobí, prípadne ztrojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina .

Príklad na nepriamu úmernosť.[upraviť | upraviť zdroj]

3 kombajny posekajú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na posekanie tohoto poľa 6kombajnov? Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny). Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje h. Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje . Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na posekanie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

Zložená trojčlenka[upraviť | upraviť zdroj]

Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami a . V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami a . Hľadanou hodnotou je vždy .

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:

1. vzťah medzi hodnotami oboch veličín
2. výsledok pre jednotku
3. dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

1. vzťah medzi hodnotami troch veličín
2. výsledok pre jednotku odpovedajúcej
3. výsledok pre jednotku odpovedajúcej
4. dopočítanie druhej dvojice z
5. dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame , prípadne , čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom . Rozdiel spočíva v tom, že páry a , a , a sú priamo čí nepriamo úmerné.

Príklad 1)[upraviť | upraviť zdroj]

5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?

Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí
Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, žemle
Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, žemle
Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, žemle
Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky, žemlí

Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

Príklad 2)[upraviť | upraviť zdroj]

5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?

Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín
Krok 2: 1 kniha, 5 strojov, hodín
Krok 3: 1 kniha, 1 stroj, hodín
Krok 4: 1 kniha, 2 stroje, hodín
Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje, hodín

Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

Príklad 3)[upraviť | upraviť zdroj]

3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?

Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov, hodín
Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov, hodín
Krok 3: 1 osoba, 1 riadok, hodiny
Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov, hodiny
Krok 5: 1 osoba, 20 riadkov, hodiny

Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

Príklad 4)[upraviť | upraviť zdroj]

3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

Krok 1: 3 robotníci, 8 h, dni
Krok 2: 1 robotník, 8 h, dni
Krok 3: 1 robotník, 1 h, dni
Krok 4: 1 robotník, 2 h, dni
Krok 5: 9 robotníkov, 2 h, dni

Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné. V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: Kompendium matematiky Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]