Trojčlenka

Trojčlenka je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny $b$ v závislosti od veličiny $a$ podľa vzorca $b=c.a$, pričom $c$ je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny $a$ a $b$ sú v priamej úmere. Ich podiel ${\frac {b}{a}}$ sa rovná konštante $c$. Ak sa veličina $a$ zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina $b$.

Úlohy

Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

Metóda postupného výpočtu

Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky? Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy. Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje ${\frac {3}{2}}$ konzervy. Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia ${\frac {3.4}{2}}$ konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

Trojčlenka v nepriamej úmernosti

Trojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina $b$ závisí od veličiny $a$, $a\neq 0$ podľa vzorca, kde $b={\frac {c}{a}}$ je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny $a$ a $b$ sú nepriamo úmerné. Ich súčin $a.b$ je konštantný. Ak sa veličina $a$ zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina $b$.

Príklad na nepriamu úmernosť.

3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov? Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny). Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje $3.2$ h. Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje ${\frac {3.2}{6}}$. Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

Zložená trojčlenka

Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami $(a_{1},b_{1})$ a $(a_{2},b_{2})$. V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami $(a_{1},b_{1},c_{1})$ a $(a_{2},b_{2},c_{2})$. Hľadanou hodnotou je vždy $c_{2}$.

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:

1. $(a_{1},b_{1})$ vzťah medzi hodnotami oboch veličín

2. $(1,\approx )$ výsledok pre jednotku

3. $(a_{2},\approx )$ dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

1. $(a_{1},b_{1},c_{1})$ vzťah medzi hodnotami troch veličín

2. $(1,b_{1},\approx )$ výsledok pre jednotku odpovedajúcej $a_{1}$

3. $(1,1,\approx )$ výsledok pre jednotku odpovedajúcej $b_{1}$

4. $(1,b_{2},\approx )$ dopočítanie druhej dvojice z $b_{2}$

5. $(a_{2},b_{2},\approx )$ dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame $c_{1}$, prípadne $c_{2}$, čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom $\approx )$. Rozdiel spočíva v tom, že páry $(a_{1},b_{1})$ a $(a_{2},b_{2})$, $(a_{1},c_{1})$ a $(a_{2},x)$, $(b_{1},c_{1})$ a $(b_{2},x)$ sú priamo čí nepriamo úmerné.

Príklad 1)

5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?

Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí

Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, ${\frac {30}{5}}$ žemle

Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, ${\frac {30}{5.3}}$ žemle

Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, ${\frac {30.2}{5.3}}$ žemle

Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky, ${\frac {30.2.8}{5.3}}=32$ žemlí

Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

Príklad 2)

5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?

Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín

Krok 2: 1 kniha, 5 strojov, ${\frac {20}{10000}}$ hodín

Krok 3: 1 kniha, 1 stroj, ${\frac {20.5}{10000}}$ hodín

Krok 4: 1 kniha, 2 stroje, ${\frac {20.5}{10000.2}}$ hodín

Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje, ${\frac {20.5.8000}{10000.2}}=40$ hodín

Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

Príklad 3)

3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?

Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov, $8$ hodín

Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov, $8.3$ hodín

Krok 3: 1 osoba, 1 riadok, ${\frac {8.3}{48}}$ hodiny

Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov, ${\frac {8.3.20}{48}}$ hodiny

Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov, ${\frac {8.3.20}{48.5}}=2$ hodiny

Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

Príklad 4)

3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

Krok 1: 3 robotníci, 8 h, $3$ dni

Krok 2: 1 robotník, 8 h, $3.3$ dni

Krok 3: 1 robotník, 1 h, $3.3.8$ dni

Krok 4: 1 robotník, 2 h, ${\frac {3.3.8}{2}}$ dni

Krok 5: 9 robotníkov, 2 h, ${\frac {3.3.8}{2.9}}=4$ dni

Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné. V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

Literatúra

• K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: Kompendium matematiky Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

Pozri aj

• Kvadratický odhad
• Násobenie