Relácia kongruencie (algebra)

Relácia kongruencie alebo kongruencia je ekvivalencia na algebre, ktorá je zlučiteľná so všetkými operáciami na tejto algebre (teda napríklad, ak sú tri páry prvkov ekvivalentné a výsledky nejakej operácie na týchto pároch sú tiež ekvivalentné, potom existuje pre tieto páry zhodnosť).

Definícia

Predpokladajme, že $(X,O_{1},O_{2},\ldots ,O_{n})\,\!$ je algebraická štruktúra s množinou prvkov $X\,\!$ a operáciami $O_{1},O_{2},\ldots ,O_{n}\,\!$, operácia $O_{i}\,\!$ je $m_{i}\,\!$ - árna. Predpokladajme ďalej, že $R\,\!$ je relácia ekvivalencie na množine $X\,\!$. $R\,\!$ je kongruencia na $X\,\!$, ak pre každú z vymenovaných operácií platí:
$a_{1}\sim _{R}b_{1},a_{2}\sim _{R}b_{2},\ldots ,a_{m_{i}}\sim _{R}b_{m_{i}}\implies O_{i}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m_{i}})\sim _{R}O_{i}(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m_{i}})\,\!$

Táto oficiálna definícia hovorí v podstate to isté, čo úvodné priblíženie - ak sú operandy na rovnakom mieste po dvoch ekvivalentné, potom musia aj výsledky operácie byť ekvivalentné.

Príklad - zhodnosť zvyškových tried

Kongruencia čísel je úzko spätá s ich deliteľnosťou a so zvyškovými triedami. Jednoducho povedané, dve čísla sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný modulom, teda po delení modulom dávajú rovnaký zvyšok. Spomínaná ekvivalencia je v tom, že obe čísla dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom, t.j. patria do tej istej zvyškovej triedy.

Hovoríme, že dve čísla $a,b\in \mathbb {Z}$ sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný číslom $m$, ktoré nazývame modulo. Formálne

$a\equiv b{\pmod {m}}$

Predchádzajúci zápis sa môže ekvivalentne prepísať na tvar

$a-b=k\cdot m$
$a=k\cdot m+b$

Príklad

Z predchádzajúceho vidno, že číslo $a$ dáva po delení modulom zvyšok $b$. Pomocou axióm modulárnej aritmetiky je možné ľahko dokázať deliteľnosť veľkých čísel určitým modulom. Je zrejmé, že číslo 4 dáva po delení číslom (modulom) 3 zvyšok 1. Ale aj čísla 7,10,13,16 ... dávajú ten istý zvyšok a teda platí

$4\equiv 4+3k{\pmod {3}}$

Odtiaľ vyplýva, že podľa relácie kongruencie sú čísla 4, 7, 10,... ekvivalentné, lebo dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom 3.

Vlastnosti kongruencií

Relácia kongruencie je reláciou ekvivalencie a teda je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
1. reflexívnosť

$a\equiv a{\pmod {m}}$

Dôkaz spočíva v použití definície kongruencie. Teda má platiť $m|(a-a)$, čo je zrejme pravda, pretože $m|0$.$\blacksquare$
2. symetria

$a\equiv b{\pmod {m}}\;\Rightarrow \;b\equiv a{\pmod {m}}$

Aj táto vlastnosť je jednoducho dokázateľná priamo z definície. Čiže $m|(a-b)\Rightarrow m|(b-a)$, čo sa dá prepísať $(a-b=k\cdot m)\Rightarrow (b-a=k\cdot m)$, po úprave $(a=k\cdot m+b)\Rightarrow (a=-k\cdot m+b)$.$\blacksquare$
3. tranzitívnosť

$(a\equiv b{\pmod {m}}\wedge b\equiv c{\pmod {m}})\Rightarrow (a\equiv c{\pmod {m}})$

Dôkaz:
${\begin{array}{l}a-b=k_{1}\cdot m\\b-c=k_{2}\cdot m\end{array}}$
Súčtom oboch rovností vznikne nová rovnica
${\begin{array}{rcl}a-c&=&k_{1}\cdot m+k_{2}\cdot m\\a-c&=&(k_{1}+k_{2})\cdot m\\a&\equiv &c{\pmod {m}}\blacksquare \end{array}}$

Príklad

Názorný príklad ukazuje, že číslo $29^{21}+1$ je deliteľné desiatimi. Ak si zápis prepíšeme do formy kongruencie, potom
${\begin{array}{rcl}29^{21}+1&\equiv &0{\pmod {10}}\\29^{21}&\equiv &-1\\29\cdot 29\cdots 29&\equiv &-1\\9\cdot 9\cdots 9&\equiv &-1\\9^{21}&\equiv &-1\\9^{20}\cdot 9&\equiv &-1\\81^{10}\cdot 9&\equiv &-1\\9&\equiv &-1\end{array}}$