Pás (algebra): Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verzia z 10:47, 23. február 2007

Pás je pologrupa ktorej operácia je idempotentná. To znamená, že pre každý prvok $a$ pásu platí

a\cdot a=a

.

Pojem pásu nachádza dôležité uplatnenie v rôznych matematických odvetviach, najmä však v teoretickej počítačovej vede.

Jednoduché príklady

Lubovoľný zväz tvorí pás vzhľadom ku obidvom svojim zväzovým operáciam. Napríklad množina reálnych čísel spolu s operáciou ktorá každej dvojici čísel priradí to väčšie z nich je pás. Ale tá istá množina tvorí pás aj vzhľadom k operácii ktorá každej dvojici čísel priradí to menšie z nich.
Nech $a$ je ľubovolné ale pevne zvolené číslo z jednotkového intervalu $[0,1]$ . Jednotkový interval tvorí pás vzhľadom k binárnej operácii

x\cdot y=\min\{\max\{x,y\},\max\{a,\min\{x,y\}\}\}

Ľubovoľná množina spolu s operáciou ľavej alebo pravej projekcie tvorí pás.

Špeciálne triedy pásov

Polozväzy

Každý komutatívny pás je polozväz (v algebraickom zmysle slova) a naopak.

Štvoruholníkové, pravo-nulové a ľavo-nulové pásy

Štvoruholníkový pás je pás v ktorom pre každé tri prvky $x,y,z$ platí

x\cdot y\cdot z=x\cdot z

Tejto vlastnosti sa niekedy hovorí štvoruholníková vlastnosť.

Napríklad pre dané ľubovolné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na $I\times J$ predpisom

$(i,j)\cdot (k,l)=(i,l)$

Výsledná pologrupa je štvoruholníkový pás, lebo

pre každý pár (i,j) máme $(i,j)\cdot (i,j)=(i,j)$
pre každé 3 páry ${\big (}i_{x},j_{x}),(i_{y},j_{y}),(i_{z},j_{z})$ máme

$(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})$

Ľavo-nulový pás je pás splňujúci xy = y. Symetricky pravo-nulový pás splňuje xy = x. V určitých pravo-nulových a ľavo-nulových pásoch sú štvoruholníkové pásy a fakticky každý štvoruholníkový pás je izomorfný k direktnému súčinu ľavo-nulového pásu a pravo-nulového pásu.

Regulárne pásy

Regulárny pás je pás v ktorom pre každé tri prvky $x,y,z$ platí

x\cdot y\cdot x\cdot z\cdot x=x\cdot y\cdot z\cdot x

Zväz variet pásov

Zväz variet pásov je spočítateľný. Vyplýva to z toho, že každá equacionálna trieda pásov je určená konečným počtom identít. Variety polozväzov, pravo-nulových a ľavo-nulových pásov predstavujú tri netriviálne minimálne prvky tohoto zväzu.

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
 {{na revíziu}}
+'''Pás''' je [[pologrupa]] ktorej operácia je [[Idempotentná operácia|idempotentná]]. To znamená, že pre každý prvok <math>a</math> pásu platí
-'''Pás''' je [[pologrupa|pologrupu]], v ktorej každý element je [[idempotencia|idempotentný]] (inými slovami zhodný so svojim štvorcom). [[Zväz]] [[varieta (univerzálna algebra)|variet]] pásov nezávisle opísal Birjukov, Fennemore a Gerhard. '''Polozväzy''', '''ľavo-nulové pásy''', '''pravo-nulové pásy''', '''štvoruholníkové pásy''' a '''regulárne pásy''' sú špecifické podtriedy pásov, ležiace pri dne tohto zväzu, sú zvlášť zaujímavé a sú stručné popísané ďalej. Pásy našli uplatnenie v rozličných odvetviach matematiky, najviac ich používa [[teoretická počítačová veda]].
+:<math>a\cdot a=a</math>.
-==Polozväzy==
-[[Polozväz]]y sú presne [[komutatívnosť|komutatívne]] pásy.
+Pojem pásu nachádza dôležité uplatnenie v rôznych matematických odvetviach, najmä však v [[teoretická počítačová veda|teoretickej počítačovej vede]].
-==Pravo-nulové, ľavo-nulové a štvoruholníkové pásy==
-'''Štvoruholníkový pás''' je pás S, ktoré splňuje
-* xyz = xz pre všetky <math>x, y, z \in S </math> (vlastnosť niekedy zvaná ako ''štvoruholníková vlastnosť'').
+==Jednoduché príklady==
-Napríklad pre dané ľubovolné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na <math>I \times J</math> zadaním
+*Lubovoľný [[zväz]] tvorí pás vzhľadom ku obidvom svojim zväzovým operáciam. Napríklad [[Reálne číslo|množina reálnych čísel]] spolu s operáciou ktorá každej dvojici čísel priradí to väčšie z nich je pás. Ale tá istá množina tvorí pás aj vzhľadom k operácii ktorá každej dvojici čísel priradí to menšie z nich.
+*Nech <math>a</math> je ľubovolné ale pevne zvolené číslo z jednotkového intervalu <math>[0,1]</math>. Jednotkový interval tvorí pás vzhľadom k binárnej operácii
+:<math>x\cdot y = \min\{\max\{x,y\},\max\{a,\min\{x,y\}\}\}</math>
+*Ľubovoľná množina spolu s operáciou ľavej alebo pravej projekcie tvorí pás.
+==Špeciálne triedy pásov==
+===Polozväzy===
+Každý [[komutatívnosť|komutatívny]] pás je [[polozväz]] (v algebraickom zmysle slova) a naopak.
+===Štvoruholníkové, pravo-nulové a ľavo-nulové pásy===
+'''Štvoruholníkový pás''' je pás v ktorom pre každé tri prvky <math>x, y, z</math> platí
+:<math>x\cdot y\cdot z = x\cdot z</math>
+Tejto vlastnosti sa niekedy hovorí [[štvoruholníková operácia|štvoruholníková vlastnosť]].
+Napríklad pre dané ľubovolné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na <math>I \times J</math> predpisom
 <math>(i, j) \cdot (k, l) = (i, l)</math>
@@ Riadok 17: / Riadok 32: @@
 # pre každé 3 páry <math>\big (i_x, j_x), (i_y, j_y), (i_z, j_z) </math> máme
 <math>  (i_x, j_x) \cdot (i_y, j_y) \cdot (i_z, j_z) = (i_x, j_z) =  (i_x, j_x) \cdot (i_z, j_z)</math>
-Fakticky každý štvoruholníkový pás je [[izomorfia|izomorfný]] k nejakej hore uvedenej forme.
 '''Ľavo-nulový pás''' je pás splňujúci xy = y. Symetricky '''pravo-nulový pás''' splňuje xy = x. V určitých pravo-nulových a ľavo-nulových pásoch sú štvoruholníkové pásy a fakticky každý štvoruholníkový pás je izomorfný k direktnému súčinu ľavo-nulového pásu a pravo-nulového pásu.
-==Regulárne pásy==
+===Regulárne pásy===
+'''Regulárny pás''' je pás v ktorom pre každé tri prvky <math>x, y, z</math> platí
+:<math>x\cdot y\cdot x\cdot z\cdot x = x\cdot y\cdot z\cdot x</math>
-'''Regulárny pás''' je pás S splňujúci
-* xyxzx = xyzx pre všetky <math>x, y, z \in S </math>
 ==Zväz variet pásov==
-Trieda pásov formuje [[varieta (univerzálna algebra)|varietu]], ak je uzavretá pod formáciou pologrúp, [[homomorfizmus|homomorfických obrazov]] a [[direktný súčin|direktných súčinov]] a variety pásov naturálne formujú [[zväz (rád)|zväz]]. Možno ukázať, že tento zväz je [[spočítateľnosť|spočítateľný]], lebo každá varieta pásov môže byť definovaná konečnou množinou [[varieta (univerzálna algebra)|definujúcou identity]]. Variety polozväzov, pravo-nulových a ľavo-nulových pásov sú 3 non-triviálne minimálne elementy tohto zväzu.
+[[Zväz]] [[varieta (univerzálna algebra)|variet]] pásov je spočítateľný. Vyplýva to z toho, že každá [[equacionálna trieda]] pásov je určená konečným počtom [[identita (variety)|identít]]. Variety polozväzov, pravo-nulových a ľavo-nulových pásov predstavujú tri netriviálne [[minimálny prvok|minimálne prvky]] tohoto zväzu.
 [[Category:Abstraktná algebra]]