Dirichletova funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Dirichletova funkcia je funkcia, ktorá je definovaná na obore všetkých reálnych čísel a pritom nie je spojitá v žiadnom bode.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Dirichletova funkcia D(x) je definovaná následujúcim predpisom:

D(x)=\begin{cases}
  \mbox{1; ak x je racionálne číslo} \\
  \mbox{0; ak x je iracionálne číslo} 
\end{cases}

Skutočný graf tejto funkcie nemožno žiadnym spôsobom nakresliť ani si ho predstaviť, čo viedlo mnohých matematikov hlavne v 19. storočí k pochybnostiam, či je Dirichletova funkcia skutočne funkciou či akousi „príšerou“, ktorá nepatrí do matematiky. Dnes už matematika celkom bez námietok uznáva aj omnoho zvláštnejšie funkcie.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Vlastnosti Dirichletovej funkcie:

Lebesgueov integrál Dirichletovej funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Môžeme ho uviesť napr. na intervale \mathbf{I}=\langle 0,1\rangle, podľa teórie Lebesgueovho integrálu má byť interval cez ktorý integrujeme lebesgueovsky merateľný. Interval \mathbf{I}=\langle 0,1\rangle je podmnožina množiny reálnych čísel, teda je to zjednotenie množiny racionálnych čísel a množiny iracionálnych čísel (teda množina iracionálnych čísel je rovná množinovému rozdielu reálne čísla – racionálne čísla :\mathbb{R - Q} .Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  :\mathbb{Q} (racionálne čísla) rovná 0, :\mu(\mathbf{Q}) =0, pretože ide o spočítateľnú množinu, teda príspevok všetkých racionálnych čisel k integrálu je 0. Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  :\mu(\mathbf{R-Q}) =1 ( na intervale \mathbf{I}=\langle 0,1\rangle ). V iracionálnych čislach je však  \ D(x) =0 , teda aj príspevok iracionálnych je rovný 0. Teda platí, že \int_\mathbf{I} D(x)\mathrm{d}x = 0.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]