Kvaternión

↓ × →	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1
Tabuľka násobenia kvaterniónov. Prvok vľavo sa násobí prvkom hore. Platí $a\mathbf {b} =\mathbf {b} a$ a $-\mathbf {b} =(-1)\mathbf {b}$ pre $a\in \mathbb {R}$, $\mathbf {b} =\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$.

Cayleyho Q8 graf, ktorý ukazuje šesť cyklov násobenia základnými prvkami i, j a k. (Po rozkliknutí obrázku je možné jednotlivé cykly zvýrazniť ukázaním korzorom.)

Kvaternióny (z lat. quaterniōn – štvorica) sú v matematike nekomutatívnym rozšírením poľa komplexných čísel do štyroch rozmerov. Zvyčajne sa zapisujú v podobe

$$a+b\ \mathbf {i} +c\ \mathbf {j} +d\ \mathbf {k} ,$$

kde koeficienty $a,b,c,d$ sú reálne čísla a 1, i, j, k sú základné vektory alebo základné prvky.

Prvýkrát kvaternióny opísal William Rowan Hamilton v roku 1843. Najprv boli považované za nevhodné a umelo vykonštruované objekty, pretože porušovali komutatívny zákon, ab = ba, postupne ale našli uplatnenie tak v teoretickej fyzike, ako aj v aplikovanej matematike (hoci sa často ich použitiu možno za určitú cenu vyhnúť pomocou vektorov). V skutočnosti je medzi kvaterniónmi a štvorrozmernými vektormi principiálny rozdiel: operácia delenia je medzi dvoma kvaterniónmi definovaná, zatiaľ čo medzi dvoma vektormi táto operácia vôbec neexistuje.

Definícia

Zatiaľ čo komplexné čísla sú vytvorené z reálnych pridaním prvku i spĺňajúceho i² = −1, kvaternióny sú vytvorené pridaním prvkov i, j a k tak, že sú splnené nasledujúce vzťahy.

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$

${\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}$

Každý kvaternión je lineárnou kombináciou prvkov 1, i, j a k, čo znamená, že ich možno zapísať ako a + bi + cj + dk kde a, b, c a d sú reálne čísla.

Príklad

Nech

${\begin{matrix}x&=&3+i\\y&=&5i+j-2k\end{matrix}}$

Potom (pri násobení sa využívajú vzťahy uvedené vyššie)

${\begin{matrix}x+y&=&3+6i+j-2k\\\\xy&=&(3+i)(5i+j-2k)=15i+3j-6k+5i^{2}+ij-2ik\\&=&15i+3j-6k-5+k+2j=-5+15i+5j-5k\\\end{matrix}}$

Základné vlastnosti

Množina kvaterniónov sa v matematike typicky označuje písmenom $\mathbb {H}$ (podľa objaviteľa Hamiltona).

Kvaternióny sú asociatívna podielová algebra nad telesom reálnych čísel. Je na nich definované (pravé a ľavé) delenie a ako množina spolu so sčítanim, násobením a delením tvorí teleso. Je nekomutatívne, jeho centrum je $\mathbb {R}$.

Pre kvaternión $h=a+bi+cj+dk$ definujme jeho konjugáciu ako ${\bar {h}}\equiv a-bi-cj-dk$. Platí, že súčin $h{\bar {h}}={\bar {h}}h=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ je nezáporné reálne číslo a je rovné nule iba pre nulový kvaternión $h=0$.

Inverzný prvok ku kvaterniónu $h$ je kvaternión $h^{-1}={\bar {h}}/(h{\bar {h}})$ (delenie reálnym číslom $h{\bar {h}}$ je definované po zložkách).

Norma kvaterniónu h sa definuje ako $|h|\equiv {\sqrt {h{\bar {h}}}}$. Násobenie zachováva normu, t. j. pre kvaternióny h,q platí $|hq|=|h||q|$. Z toho vyplýva, že množina kvaterniónov normy 1 tvorí grupu. Táto množina je topologická sféra $S^{3}$ a ako Liova grupa je izomorfná $SU(2)$ (Jediné sféry, ktoré sú aj Liove grupy, sú $S^{0},S^{1}$ a $S^{3}$).

Grupa automorfizmov kvaterniónov je izomorfná s $SO(3)$ - grupou ortogonálnych matíc typu (3,3) s jednotkovým determinantom. Prvku $A\in SO(3)$ pridadíme automorfizmus $a+\mathbf {v} \mapsto a+A\mathbf {v}$, kde $a\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}$ a $a+\mathbf {v} :=a+iv^{1}+jv^{2}+kv^{3}$ pre $\mathbf {v} =(v^{1},v^{2},v^{3})$. Podobne grupa všetkých automorfizmov a anti-automorfizmov je izomorfná s grupou $O(3)$ (grupou ortogonálnych matíc typu (n,n)).

Algebra kvaterniónov je izomorfná s Cliffordovou algebrou $Cliff_{0,2}$.

Príklady využitia

Rotácia v R^3

Každý kvaternión môžeme napísať v tvare $a+\mathbf {v}$, kde $a\in \mathbb {R}$ a $\mathbf {v} =v^{1}i+v^{2}j+v^{3}k$, kde $\mathbf {v}$ chápeme ako vektor v $\mathbb {R} ^{3}$. Pre ľubovoľný rýdzo imaginárny kvaternión $\mathbf {v}$ a ľubovoľný kvaternión $h\neq 0$ platí, že $h\mathbf {v} h^{-1}$ je opeť rýdzo imaginárny (t. j. vektor) a zobrazenie $\mathbf {v} \mapsto h\mathbf {v} h^{-1}$ je rotácia v $\mathbb {R} ^{3}$. Môžeme sa obmedziť na jednotkové kvaternióny $|h|=1$. Potom platí:

rotácia okolo osi $\mathbf {o}$ o uhol $\varphi$ je reprezentovaná kvaterniónom $h=\cos(\varphi /2)+\sin(\varphi /2)\mathbf {o}$, kde $\mathbf {o}$ je jednotkový vektor v smere osi o (otáča sa v kladnom smere, ak sa pozeráme smerom k o).

Ku každej rotácii prislúchajú 2 jednotkové kvaternióny $h$ a $-h$. To okrem iného dokazuje, že trojrozmerná sféra $S^{3}$ je 2:1 nakrytie $SO(3)$.

Zároveň je to najjednoduchší spôsob, ako rotáciu okolo nejakej osi v $\mathbb {R} ^{3}$ spočítať (ak je napríklad z neznámych dôvodov nie príliš známy).

Rotácia v R^4

Kvaternióny môžeme prirodzene stotožniť s prvkami priestoru $\mathbb {R} ^{4}$. Pre ľubovoľnú dvojicu jednotkových kvaterniónov $h,q$ je zobrazenie $v\in \mathbb {H} \mapsto hvq\in \mathbb {H}$ rotácia v $\mathbb {R} ^{4}\simeq \mathbb {H}$. Každej rotácii $\mathbb {R} ^{4}$ prislúchajú takto práve dve dvojice jednotkových kvaterniónov $h,q$ a $-h,-q$. To objasňuje štruktúru grupy $SO(4)$: plynie z toho hneď, že $SO(4)\simeq (S^{3}\times S^{3})/\mathbb {Z} _{2}$.

Platónske telesá v štvorrozmernom priestore

Pomocou kvaterniónov možno nájsť niektoré platónske telesá v štvorrozmernom priestore. Prvým faktom, ktorý je potrebné si uvedomiť je, že žiadne platónske teleso sa nezmení, ak ho pootočíme tak, že každý vrchol prejde do vrcholu iného. Potom je potrebné si všimnúť, že ak máme štvorrozmerný vektor (a,b,c,d) a priradíme mu kvaternión $a+bi+cj+dk$, potom ak sadu takých vektorov (kvaterniónov) vynásobíme jednotkovým kvaterniónom, tak sa všetky tieto vektory iba otočia. (Sú násobené jednotkovým kvaterniónom, takže sa nezmení ich veľkosť, len smery, a to lineárne.) Potom si všimneme, že v kvaterniónoch existujú konečné grupy uzavreté voči násobeniu, ktoré majú nasledujúce členy:

všetky permutácie (±1, 0, 0, 0) (8 členov)

predchádzajúca grupa + 16 štvoríc (±½, ±½, ±½, ±½)

predchádzajúca grupa + všetky párne permutácie ½(±1, ±φ, ±1/φ, 0).

Pre každú z týchto grúp potom platí, že ak násobíme členy grupy medzi sebou, výsledkom je opäť prvok danej grupy. To ale znamená, že každá grupa predstavuje vrcholy nejakého platónskeho telesa vo štvorrozmernom priestore! To preto, že práve vtedy, keď ide o platónske teleso, je splnená vlastnosť, že pri otočení daného telesa tak, aby sa vrchol dostal do vrcholu (čomu práve násobenie jednotkovými kvaterniónmi z danej grupy zodpovedá), zostane teleso rovnaké.

Pozri aj

• komplexné číslo
• hyperkomplexné číslo
• oktonión

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kvaternión