Portál:Matematika/Odporúčaný článok/26 2011

V matematike je projektívny priestor množina prvkov podobná množine P(V) priamok prechádzajúcich počiatkom vo vektorovom priestore V. V špeciálnom prípade, ak V=R² resp. V=R³, hovoríme o projektívnej priamke resp. projektívnej rovine.

Predstava o projektívnom priestore je podobná predstave o tom, ako oko alebo kamera zobrazuje 3D krajinu na 2D obrázok. Všetky body, ktoré ležia na priemietacej priamke a pretínajú sa s ohniskovým bodom kamery sú zobrazené na spoločný bod obrázku.

Hoci tvoria projektívne priestory samostatnú časť matematiky, využívajú sa v mnohých ďalších aplikovaných obliastiach, najmä v diferenciálnej a algebraickej geometrii. Geometrické objekty, akými sú body, priamky a roviny, môžu byť pomocou homogénnych súradníc reprezentované prvkami v projektívnych priestoroch. Mnohé vzťahy medzi týmito objektmi tak môžu byť opísané jednoduchšou cestou a vety podané jednoduchšie (a bez výnimiek), než by tomu bolo bez homogénnych súradníc. Napríklad v klasickej geometrii sa dve priamky v konečnodimenzionálnom unitárnom priestore s definovaným štandardným skalárnym súčinom (t. j. v Euklidovskom priestore) vždy pretnú práve v jednom bode, s výnimkou, keď majú tieto priamky rovnaké zameranie (pre špeciálny prípad v rovine: ak sú tieto priamky rovnobežné, t. j. ak majú rovnakú smernicu). V projektívnej reprezentácii priamok a bodov takýto bod, v ktorom sa priamky pretínajú, existuje vždy a môže byť vypočítaný bežným postupom aj pre priamky s rovnakým zameraním.

Ďalšími odvetviami matematiky, v ktorých hrajú projektívne priestory významnú úlohu, sú topológia, teória Lieových grúp a algebraických grúp.

Úvod

Pre lepšiu názornosť vytvoríme reálnu projektívnu rovinu P₂(R³). Existujú najmenej tri ekvivalentné definície pre túto rovinu:

1. Množina všetkých priamok v (reálnom 3D) priestore R³ prechádzajúcich cez počiatok (0,0,0). Každá taká priamka pretína sféru s polomerom jedna a stredom v počiatku práve dvakrát, povedzme v bode P = (x, y, z) a v protichodnom bode (-x, -y, -z).
2. P₂(R³) môže byť tiež opísaný pomocou bodov na sfére S², kde každý bod P a jeho protichodný bod nie sú rozdielne. Napríklad bod (1, 0, 0) (červéný bod na obrázku) je stotožnený s (-1, 0, 0) (svetlo červený bod), atď.

Celý článok...