Variácia (kombinatorika)

Variácia (angl. arrangement), presnejšie k-prvková variácia z n prvkov množiny M alebo variácia k-tej triedy z n prvkov množiny M, je ľubovoľné injektívne zobrazenie množiny $\{1,2,\ldots ,k\}$ do množiny M.^[1] Niekedy sa definuje aj ako ľubovoľná permutácia niektorej k-prvkovej kombinácie z n prvkov množiny M, pričom tieto definície možno považovať za ekvivalentné.

Intuitívne možno o k-prvkovej variácii z n prvkov množiny M uvažovať ako o usporiadanej k-tici obsahujúcej každý prvok množiny N maximálne jeden raz. Medzi variáciami a takýmito k-ticami totiž existuje vzájomne jednoznačné zobrazenie, avšak charakter týchto dvoch štruktúr je rozdielny.

Variácie definované vo vyššie uvedenom zmysle sa nazývajú aj variácie bez opakovania. Variácia s opakovaním k-tej triedy z n prvkov množiny M sa definuje ako ľubovoľná usporiadaná k-tica pozostávajúca z prvkov množiny M.

Variácia bez opakovania

Variácia k-tej triedy z n prvkov bez opakovania je ľubovoľné injektívne zobrazenie množiny $\{1,2,\ldots ,k\}$ do množiny M.

Počet možných variácií bez opakovanía je:
$V_{k}(n)={\frac {n!}{(n-k)!}}=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)$

Príklad

Koľkými spôsobmi môžu byť obsadené prvé tri miesta na šachovom turnaji, ak sa ho zúčastnili 8 hráči?
Riešenie: $V_{3}(8)=8\cdot 7\cdot 6={\frac {8!}{(8-3)!}}={\frac {8!}{5!}}=336$

Variácia s opakovaním

Variácia k-tej triedy s opakovaním z n prvkov je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov tak, že sa každý prvok môže ľubovoľne krát opakovať.

Počet možných variácií s opakovaním je:
$V_{k}^{\prime }(n)=n^{k}$

Príklad

Koľkými spôsobmi možno zvoliť 4 - miestny kód trezoru, ak na ľubovoľnom mieste môže byť ľubovoľná číslica od 0 po 9?
Riešenie: $V_{4}(10)=10^{4}=10000$

Pozri aj

Referencie

↑ Comtet, L.: Advanced Combinatorics. D. Reidel Publishing Company, 1974.

Použitá literatúra

Marián Olejár a kol.: Zbierka vzorcov z matematiky, Vydavateľstvo Young Scientist, ISBN 80-88792-16-9

Externé odkazy

[1] Comtet, L.: Advanced Combinatorics. D. Reidel Publishing Company, 1974.

[1]