z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Injektívne zobrazenie, ktoré nie je zároveň aj surjektívne . Prosté zobrazenie alebo injektívne zobrazenie alebo injekcia je také zobrazenie množiny X do množiny Y, že každý prvok množiny Y je obrazom najviac jedného prvku z množiny X. Pojem injektívneho zobrazenia si nemožno pomýliť s bijektívnym zobrazením , ktoré je zároveň injekciou a surjekciou . K bijekcii, teda prostému zobrazeniu množiny X na Y (injekcia a surjekcia) existuje inverzné zobrazenie .
Na rozdiel od zobrazenia na (surjekcia) , prosté zobrazenie nemusí byť definované pre všetky obrazy a vzory, teda môžu existovať prvky cieľovej množiny, ktoré nemajú svoj vzor.
Nech
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
množiny . Zobrazenie
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
X
{\displaystyle X}
f
(
x
1
)
,
f
(
x
2
)
{\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2})}
Y
{\displaystyle Y}
Symbolicky píšeme:
(
∀
x
1
,
x
2
∈
X
)
(
x
1
≠
x
2
⇒
f
(
x
1
)
≠
f
(
x
2
)
{\displaystyle (\forall x_{1},x_{2}\in X)(x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}
Dané tvrdenie je logicky ekvivalentné s transponovanou implikáciou:
(
∀
x
1
,
x
2
∈
X
)
(
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
⇒
x
1
=
x
2
)
{\displaystyle (\forall x_{1},x_{2}\in X)(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})}
Identické zobrazenie
id
X
:
X
→
X
{\displaystyle {\text{id}}_{X}:X\rightarrow X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
id
X
(
x
)
=
x
{\displaystyle {\text{id}}_{X}(x)=x}
bijektívne , inverz je opäť identickým zobrazením).Lineárna funkcia
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
a
≠
0
,
b
{\displaystyle a\neq 0,b}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)=f(y)}
a
x
+
b
=
a
y
+
b
{\displaystyle ax+b=ay+b}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
Kvadratická funkcia
g
:
R
→
R
{\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
g
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle g(x)=ax^{2}+bx+c}
a
≠
0
,
b
,
c
{\displaystyle a\neq 0,b,c}
g
(
1
−
b
2
a
)
=
4
a
2
−
b
2
+
4
a
c
4
a
=
g
(
−
1
−
b
2
a
)
{\displaystyle g\left(1-{\frac {b}{2a}}\right)={\frac {4a^{2}-b^{2}+4ac}{4a}}=g\left(-1-{\frac {b}{2a}}\right)}
Mocninová funkcia
h
:
R
→
R
{\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
h
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle h(x)=x^{n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
{\displaystyle n}
n
=
2
k
,
k
∈
N
{\displaystyle n=2k,\,k\in \mathbb {N} }
1
=
h
(
1
)
=
1
2
k
=
(
1
2
)
k
=
[
(
−
1
)
2
]
k
=
(
−
1
)
2
k
=
h
(
−
1
)
{\displaystyle 1=h(1)=1^{2k}=(1^{2})^{k}=[(-1)^{2}]^{k}=(-1)^{2k}=h(-1)}
Exponenciálna funkcia
exp
:
R
→
R
{\displaystyle {\text{exp}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
exp
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle {\text{exp}}(x)=e^{x}}
exp
{\displaystyle {\text{exp}}}
[
0
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle [0,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
Prirodzený logaritmus
ln
:
(
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle {\text{ln}}:(0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} }
x
↦
ln
(
x
)
{\displaystyle x\mapsto \ln(x)}
Spojité reálne funkcie
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
Ak je spojitá reálna funkcia
f
{\displaystyle f}
rýdzo monotónna , tak je prostá.
Kompozícia injektívnych zobrazení je tiež injektívnym zobrazením. Nech
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X,Y,Z}
množiny a nech
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g:Y\rightarrow Z}
zobrazenia , potom platia nasledujúce výroky :
Ak
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
Ak
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
f
{\displaystyle f}
Ak sú množiny
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
f
{\displaystyle f}
surjekciou (teda
f
{\displaystyle f}
bijekciou ).
Ak sú množiny
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
X
=
Y
{\displaystyle X=Y}
f
{\displaystyle f}
permutáciou množiny
X
{\displaystyle X}
↑ ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria . Bratislava : MARENČIN PT, 2011. ISBN 978-80-8114-111-9 26, 29.
![{\displaystyle 1=h(1)=1^{2k}=(1^{2})^{k}=[(-1)^{2}]^{k}=(-1)^{2k}=h(-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa8f3b064f196a08ac1f6285745b39017d6a9e3)
