Cayleyho-Hamiltonova veta

Cayleyho-Hamiltonova veta (pomenovaná podľa Arthura Cayleyho a Williama Rowana Hamiltona) je v lineárnej algebre veta, ktorá hovorí, že každá štvorcová matica je koreňom svojho charakteristického polynómu, teda platí:

$\chi _{A}\left(A\right)=0.$

Pomocné pojmy

Definujme pojem mocniny štvorcovej matice $A\,\!$ ($A\in M_{n,n}$) nasledovne:

$A^{0}=I_{n}\,\!$, kde $I_{n}\,\!$ je jednotková matica z $M_{n,n}\,\!$

Indukčne definujme: $A^{n+1}=A^{n}\cdot A$

Charakteristický polynóm $\chi _{A}(t)\,\!$ je definovaný pre ľubovoľnú $A\in M_{n,n}$ nasledovne: $\chi _{A}(t)=\det(tI_{n}-A)\,\!$, kde $\lambda$ je jeho koreňom práve vtedy, ak je vlastnou hodnotou $A\,\!$.

Formulácia vety

Nech $A\,\!$ je štvorcová matica a jej charakteristický polynóm $\chi _{A}(t)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}t^{i}$, pre vhodné koeficienty $a_{i}$. Potom $\sum _{i=0}^{n}a_{i}A^{i}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

Neformálne: $\chi _{A}(A)=0\,\!$.

Využitie

Najdôležitejším dôsledkom Cayleyho-Hamiltonovej vety je, že charakteristický polynóm je násobkom minimálneho polynómu danej štvorcovej matice $A\,\!$.

Externé odkazy

• dôkaz z PlanetMath (angl.)

Literatúra

• ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria. Cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných odborov. Bratislava : Marenčin PT, 2011. Dostupné online. ISBN 978-80-8114-111-9.