Dvojčlen

Dvojčlen alebo binóm alebo mnohočlen s dvoma členmi je mnohočlen, ktorý má dva členy; súčet dvoch jednočlenov (monómov). Napr. $2b+5ab$. Dvojčleny a vzorce s nimi spojené patria k základným matematickým nástrojom. Dvojčleny nachádzajú uplatnenie v rôznych výpočtoch počnúc kvadratickými rovnicami až po výpočet pravdepodobnosti. S dvojčlenmi súvisia vzorce pre skrátené násobenie, ktoré sa často používajú pri úpravách rôznych algebraických výrazov. V zhode s vyššie uvedenou definíciou sú dvojčleny výrazy $(a+b)$ a $(a-b)$, pričom $a$ a $b$ môžu byť čísla, parametre alebo algebraické výrazy.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako rozdielne môžu byť dvojčleny. $(a+b)$, $(4a-9b)$, $(x-3y)$,$(3(7x-5)-2y)$

V príklade $(4a-9b)$ sú oba členy dvojčlenu súčiny, a to $4\cdot a$ (prvý člen dvojčlenu) a $9\cdot c$ (druhý člen dvojčlenu). V poslednom príklade $(3(7x-5)-2y)$ je prvým členom výraz $(3(7x-5)$ a druhým členom je výraz $2y$.

Stupeň dvojčlenu

Stupňom dvojčlenu rozumieme exponent u vonkajších zátvoriek.

$(a+3)^{2}$ , $(4a-9b)^{2}$ , $(3(7x-5)-2y)^{2}$ sú dvojčleny stupňa 2.

$(x-3y)^{3}$ je dvojčlenom stupňa 3.

$(x^{2}+5y^{6})^{4}$ je dvojčlenom stupňa 4.

Dvojčleny druhého stupňa

Vzorce skráteného násobenia uľahčujú počítanie s mnohočlenmi druhého stupňa i stupňov vyšších. Najznámejšie sú vzorce týkajúce sa dvojčlenov druhého stupňa, ktoré pracovne nazveme prvým, druhám a tretím vzorcom. Obecný vzorec pre výpočet dvojčlenu n-t=ho stupňa nachádza uplatnenie vo formulácii a riešení obecnejších matematických problémov. Tri zmienené vzorce:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ prvý vzorec

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ druhý vzorec

$(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$ tretí vzorec

Prvé dva vzorce skráteného násobenia sä v zásade vzorcom jediným, stačí v druhom vzorci zapísať výraz $(a-b)^{2}$ v tvare $(a+(-b))^{2}$ a na tento tvar použíť prvý vzorec skráteného nasobenia. Dostávame:

$(a+(-b))^{2}=a^{2}-2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Realizácia počtových výkonov obvyklym spôsobom vyjasní, ako uvedené vzorce vznikli:

$(a+b)^{2}$ zápis druhej mocniny ako súčinu

$=(a+b)\cdot (a+b)=$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách (roznásobenie zátvoriek)

$=a^{2}+ab+ab+b^{2}$ sčítanie odpovedajúcich členov

$=a^{2}+2ab+b^{2}$ prvý vzorec

Analogicky pre druhý vzorec:

$(a-b)^{2}$ zápis druhej mocniny ako súčinu

$=(a-b)\cdot (a-b)=$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách

$=a^{2}-ab+ab+b^{2}$ sčítanie odpovedajúcich členov

$=a^{2}-2ab+b^{2}$ druhý vzorec

Tretí vzorec odvodíme následovne:

$(a+b)\cdot (a-b)=$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách

$=a^{2}-ab+ab-b^{2}=$ sčítanie odpovedajúcich členov

$=a^{2}-b^{2}$ tretí vzorec

Porovnanie prvého riadku výpočtu tretieho vzorca s druhými riadkami výpočtu prvého a druhého vzorca ukazuje všetky možné kombinácie znamienok v zátvorkách, ktoré sa môžu vyskytnúť.

Dvojčleny vyšších stupňov

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$

Vyššie uvedené vzorce odvodíme podobne ako prví až tretí vzorec. O výraze na pravej strane uvedených rovností hovoríme ako o rozvoji dvojčlenu.

Činitele pred jednotlivými výrazmi $a^{4}$,$a^{3}b$,$a^{2}b^{2}$, $ab^{3}$, $b^{4}$ (jednočleny) nazývame binomické koeficienty (koeficienty dvojčlenu, napr. koeficient $1$ pred $a^{4}$, koeficient $4$ pred $a^{3}b$ a pod.

Ak zapíšeme rozvoj dvojčlena $(a+b)^{4}$ so všetkými exponentami členov $a$ a $b$, dostávame

$(a+b)^{4}=a^{4}b^{0}+4a^{3}b^{1}+6a^{2}b^{2}+4a^{1}b^{3}+a^{0}b^{4}$

Všimnite si:

1. Najvyšší exponent základu $a$ i $b$ je rovný stupni dvojčlenu, v tomto prípade $4$.

2. Exponent základu $a$ sa v každom nasledujúcom sčítanci znižuje o $1$, od $4$ v prvom sčítanci až na $0$ v poslednom sčítanci.

3. Exponent základu $b$ sa v každom nasledujúcom sčítanci zvyšuje o $1$, od $0$ v prvom sčítanci až na $4$ v sčítanci poslednom.

Vzorce pre dvojčleny $(a+b)^{n}$ dostaneme tak, že člen b nahradíme výrazom $(-b)$. Pre dvojčlen tretieho stupňa dostávame

$(a-b)^{3}=(a+(-b))^{3}=a^{3}+3a^{2}(-b)+3a(-b)^{2}+(-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Podobne v prípade dvojčlena štvrtého stupňa

$(a-b)^{4}=(a+(-b))^{4}=a^{4}+4a^{3}(-b)+6a^{2}(-b)^{2}+4a(-b)^{3}+(-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}$

Všimnime si, že členy obsahujúce nepárne mocniny základu (-b) majú záporné koeficienty, takže sa odčítajú.

Pozri aj

• Binomická veta
• Jednočlen