Kombinačné číslo

Kombinačné číslo (iné názvy: binomické číslo, binomický koeficient) je matematická funkcia, ktorá udáva počet kombinácií k-tej triedy z n-prvkovej množiny, tzn. počet spôsobov, ako vybrať k-prvkovú podmnožinu z n-prvkovej množiny (k a n sú prirodzené čísla). Kombinačné číslo sa značí v tvare ${\tbinom {n}{k}}$ a číta sa „n nad k“. Alternatívne značenia sú $C(n,k)$, $C_{k}(n)$, $_{n}C_{k}$ alebo $C_{n}^{k}$.

S využitím faktoriálu je možné kombinačné číslo definovať nasledovne:

${n \choose k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,&&{\mbox{ pre }}n\geq k\geq 0;\\0\,&&{\mbox{inak}}\qquad \qquad \end{matrix}}\right.$

Platí rovnosť:

$1={0 \choose 0}={n \choose 0}={n \choose n}.$

Kombinačné číslo sa používa hlavne v kombinatorike, veľmi dôležité je využitie v binomickej vete (pričom je tu označované ako binomický koeficient) alebo v Leibnizovom pravidle.

Vlastnosti

Pre prirodzené čísla n a k, kde $0\leqq k\leqq n$ a $m\in \mathbb {N}$ platí

${n \choose k}={n \choose {n-k}},$

${{n} \choose {1}}=n,$

${{n} \choose {0}}={{n} \choose {n}}=1,$

${n \choose {k+1}}={n \choose k}{\frac {n-k}{k+1}},$

${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}},$

${n \choose {k}}={{n-1} \choose {k-1}}+{{n-1} \choose {k}},$

${{n+1} \choose {k}}={n \choose {k-1}}+{n \choose k},$

$\sum _{i=k}^{n}{i \choose {k}}={n+1 \choose {k+1}},$

$\sum _{i=0}^{n}{{k+i} \choose {i}}={k+n+1 \choose n},$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}=2^{n},$

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose {i}}=0,$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}={2n \choose {n}}$

$\sum _{i=0}^{m}{{n+i} \choose {n}}={{n+m+1} \choose {n+1}}$

$\sum _{i=0}^{m}{{n+i} \choose k}={{n+m+1} \choose {k+1}}-{{n+1} \choose {k+1}}$

$\sum _{i=1}^{n}{i}={{n+1} \choose {2}}={{n+1} \choose {n-1}}={\frac {n}{2}}(n+1)$

Zovšeobecnenie kombinačných čísel

Ak definujeme kombinačné číslo ako:

${z \choose k}={\frac {z^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}$

kde k je nezáporné celé číslo (a $z^{\underline {k}}$ je k-ty klesajúci faktoriál zo z), potom je zrejmé, že pravá strana má zmysel, aj keď $z$ nebude obmedzené na celé nezáporné čísla. Na $z$ dokonca nemusíme klásť žiadne podmienky, môže ísť aj o číslo komplexné. Vzťah je teda prirodzeným zovšeobecnením kombinačných čísel a je používaný hlavne v zovšeobecnenej binomickej vete.

Ďalšiu možnú definíciu umožňuje náhrada faktoriálu gama funkciou:

${z \choose k}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (z-k+1)\Gamma (k+1)}}$

kde z aj k môžu byť komplexné čísla. V takom prípade však nebudú platiť popísané vlastnosti kombinačných čísel pre všetky hodnoty.

Pozri aj

• Pascalov trojuholník
• Binomická veta
• Kombinatorika

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kombinačné číslo

Externé odkazy

• Kombinačné číslo v encyklopédii MathWorld (po anglicky)
• Kalkulátor kombinačného čísla (po česky)

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Kombinační číslo na českej Wikipédii.