Gama funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Gama funkcia

Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama, \Gamma-funkcia, Eulerov integrál druhého druhu) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel.

Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:

n! = n(n-1)(n-2)\ldots\times3\times2\times1

Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla:

\Gamma(z+1)=z!\,

Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie ln(\Gamma): hodnoty rastú oveľa pomalšie a pri počítaní dovoľujú sčítavanie a odčítavanie namiesto násobenia a delenia.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Funkciu definovanú pre x > 0 nasledovným predpisom:


\begin{array}{lcl}
  \Gamma(x) = \operatorname\int_0^\infty  t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t 
\end{array}

nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).

Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti  \text{Re}z>0. Gamma funkcia má rozšírenie do komplexnej roviny pomocou analytického predĺženia. Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem  \{ 0,-1,-2,-3,\dots \}, kde má póly.

Dôležité vzťahy[upraviť | upraviť zdroj]

Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:

  • \Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\,
  • \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin {\pi x}} \; \mbox{ pre } 0 < x < 1
  • \Gamma(x)\Gamma\left(x+\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2x-1}}\Gamma(2x)
Špeciálne pre prirodzené čísla n budeme mať:
\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}
  • Pre prirodzené čísla n platí nasledovné: \Gamma(n) = (n-1)! \,
  • B(x, y) =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
  • \Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^x}{x \; (x+1)\cdots(x+n)} \,\!

Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla x, ktoré nie sú reálne záponé alebo nula.

\Gamma(x) = \frac{e^{-\gamma x}}{x} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \,\!

kde \gamma je Eulerova-Mascheroniova konštanta.

Niektoré hodnoty[upraviť | upraviť zdroj]

V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:

\Gamma(-2)\, (nedefinované)
\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)\, = \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \,
\Gamma(-1)\, (nedefinované)
\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\, = -2\sqrt{\pi}\,
\Gamma(0)\, (nedefinované)
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\, = \sqrt{\pi}\,
\Gamma(1)\, =0!=1 \,
\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\, = \frac {\sqrt{\pi}} {2} \,
\Gamma(2)\, =1!=1 \,
\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\, = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \,
\Gamma(3)\, =2!=2 \,
\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\, = \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \,
\Gamma(4)\, =3!=6 \,
\lim_{z \to 0 +} \Gamma(z)\, = +\infty \,
\lim_{z \to +\infty} \Gamma(z)\, = +\infty \,

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gama funkce na českej Wikipédii.