Gama funkcia Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel .
Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:
n
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
…
×
3
×
2
×
1
{\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\ldots \times 3\times 2\times 1}
Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla :
Γ
(
z
+
1
)
=
z
!
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z!\,}
Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie
l
n
(
Γ
)
{\displaystyle ln(\Gamma )}
Funkciu definovanú pre
x
>
0
{\displaystyle x>0}
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Gamma (x)=\operatorname {\int } \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\end{array}}}
nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).
Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti
Re
z
>
0
{\displaystyle {\text{Re}}z>0}
analytického predĺženia . Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem
{
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
}
{\displaystyle \{0,-1,-2,-3,\dots \}}
Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}
Γ
(
x
)
Γ
(
1
−
x
)
=
π
sin
π
x
pre
0
<
x
<
1
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {\pi x}}}\;{\mbox{ pre }}0<x<1}
Γ
(
x
)
Γ
(
x
+
1
2
)
=
π
2
2
x
−
1
Γ
(
2
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2x-1}}}\Gamma (2x)}
Špeciálne pre prirodzené čísla
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
+
1
2
)
=
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
π
{\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}
Pre prirodzené čísla
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
Γ
(
x
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
x
x
(
x
+
1
)
⋯
(
x
+
n
)
{\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{x}}{x\;(x+1)\cdots (x+n)}}\,\!}
Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla
x
{\displaystyle x}
záponé alebo nula .
Γ
(
x
)
=
e
−
γ
x
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
n
)
−
1
e
x
/
n
{\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\,\!}
kde
γ
{\displaystyle \gamma }
Eulerova-Mascheroniova konštanta [1]
V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:
Γ
(
−
2
)
{\displaystyle \Gamma (-2)\,}
(nedefinované)
Γ
(
−
3
2
)
{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)\,}
=
4
π
3
{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\,}
Γ
(
−
1
)
{\displaystyle \Gamma (-1)\,}
(nedefinované)
Γ
(
−
1
2
)
{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)\,}
=
−
2
π
{\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}
Γ
(
0
)
{\displaystyle \Gamma (0)\,}
(nedefinované)
Γ
(
1
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,}
=
π
{\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}
Γ
(
1
)
{\displaystyle \Gamma (1)\,}
=
0
!
=
1
{\displaystyle =0!=1\,}
Γ
(
3
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\,}
=
π
2
{\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,}
Γ
(
2
)
{\displaystyle \Gamma (2)\,}
=
1
!
=
1
{\displaystyle =1!=1\,}
Γ
(
5
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\,}
=
3
π
4
{\displaystyle ={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\,}
Γ
(
3
)
{\displaystyle \Gamma (3)\,}
=
2
!
=
2
{\displaystyle =2!=2\,}
Γ
(
7
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)\,}
=
15
π
8
{\displaystyle ={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\,}
Γ
(
4
)
{\displaystyle \Gamma (4)\,}
=
3
!
=
6
{\displaystyle =3!=6\,}
lim
z
→
0
+
Γ
(
z
)
{\displaystyle \lim _{z\to 0+}\Gamma (z)\,}
=
+
∞
{\displaystyle =+\infty \,}
lim
z
→
+
∞
Γ
(
z
)
{\displaystyle \lim _{z\to +\infty }\Gamma (z)\,}
=
+
∞
{\displaystyle =+\infty \,}
BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III. . [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156. Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gama funkce na českej Wikipédii. 
