Gama funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Gama funkcia

Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama, -funkcia, Eulerov integrál druhého druhu) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel.

Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:

Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla:

Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie : hodnoty rastú oveľa pomalšie a pri počítaní dovoľujú sčítavanie a odčítavanie namiesto násobenia a delenia.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Funkciu definovanú pre nasledovným predpisom:

nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).

Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti . Gamma funkcia má rozšírenie do komplexnej roviny pomocou analytického predĺženia. Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem , kde má póly.

Dôležité vzťahy[upraviť | upraviť zdroj]

Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:

Špeciálne pre prirodzené čísla budeme mať:
  • Pre prirodzené čísla platí nasledovné:

Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla , ktoré nie sú reálne záponé alebo nula.

kde je Eulerova-Mascheroniova konštanta.

Niektoré hodnoty[upraviť | upraviť zdroj]

V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:

(nedefinované)
(nedefinované)
(nedefinované)

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gama funkce na českej Wikipédii.