Binomická veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Binomická veta je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov.
Veta vychádza z kombinatoriky.

Znenie vety[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y platí:

kde je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom:
Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.

Iný zápis vyzerá takto:



pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Použijeme matematickú indukciu.

  • Keď n = 0, rovnosť platí:
  • Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre :
z indukčného predpokladu:
násobené číslami a :
vyjmutie zo sumy:
substitúciou :
vyjmutie zo sumy:
zloženie dvoch súm:
z Pascalovho pravidla:
pridaním mocniny do výrazu:
.
Q.E.D.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:

Newtonova binomická veta[upraviť | upraviť zdroj]

Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo.
Nech je teda a reálne číslo. Potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y také, že platí:

kde:

, kde k > 0


Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]