Gama rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Gama rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a -rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.

Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je náhodná veličina a nech a . Hovoríme, že táto náhodná veličina má gama rozdelenie s parametrami a , ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

kde označenie označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

Parameter nazývame parameter tvaru a zase paramater škály.

Označenie:

Ďalšie vyjadrenia[upraviť | upraviť zdroj]

Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.

Nech a sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami a , ďalej nech pre parametre platí nasledovné: , a . Potom náhodná veličina , má tiež gama rozdelenie s parametrami

Majme nezávislých náhodných premenných , pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami . Pre parametre platí: a pre . Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:

má tiež gama rozdelenie s parametrami .

Vzťah k iným rozdeleniam[upraviť | upraviť zdroj]

Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter , tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom , teda:

Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter , pričom je celé kladné číslo a druhý parameter , tak dostaneme -rozdelenie s stupňami voľnosti, teda

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej :

Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:

Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:

pre .

Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:

pričom pre parametre platí: , a .

Poznámky[upraviť | upraviť zdroj]

  • V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen a sa zvyknú používať písmená našej abecedy, a (pričom v niektorej literatúre potom parameter zodpovedá a parameter zodpovedá ).

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
  • PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • HARMAN, Radoslav. Stochastické simulačné metódy [online]. [Cit. 2012-03-24]. Kapitola Generovanie realizácií spojitých náhodných premenných a vektorov. Dostupné online.