Gama rozdelenie

Gama rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a $\chi ^{2}$-rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.

Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.

Definícia

Nech $X$ je náhodná veličina a nech $\alpha \in R^{+}$ a $\beta \in R^{+}$. Hovoríme, že táto náhodná veličina $X$ má gama rozdelenie s parametrami $\alpha$ a $\beta$, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}&\mathrm {pre} \ x>0\\0&\mathrm {pre} \ x\leq 0\end{cases}}$

kde označenie $\Gamma (\alpha )$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x$

Parameter $\alpha$ nazývame parameter tvaru a $\beta$ zase paramater škály.

Označenie:

• $\operatorname {X} \sim Gama(\alpha ,\beta )$
• $\operatorname {X} \sim \Gamma (\alpha ,\beta )$

Ďalšie vyjadrenia

Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.

Nech $X$ a $Y$ sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami $\operatorname {(} \alpha ,\beta _{1})$ a $\operatorname {(} \alpha ,\beta _{2})$, ďalej nech pre parametre platí nasledovné: $\alpha \in R^{+}$, $\beta _{1}\in R^{+}$ a $\beta _{2}\in R^{+}$. Potom náhodná veličina $\operatorname {Z} =X+Y$, má tiež gama rozdelenie s parametrami $\operatorname {(} \alpha ,\beta _{1}+\beta _{2})$

Majme $n$ nezávislých náhodných premenných $X_{1},...,X_{n}$, pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami $(\alpha ,\beta _{1}),\cdots ,(\alpha ,\beta _{n})$. Pre parametre platí: $\alpha \in R^{+}$ a $\beta _{j}\in R^{+}$ pre $j=1,\cdots ,n$. Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:

$X=\sum _{j=1}^{n}X_{j}$

má tiež gama rozdelenie s parametrami $(\alpha ,\sum _{j=1}^{n}\beta _{j})$.

Vzťah k iným rozdeleniam

Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter $\alpha =1$, tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom $\beta$, teda:

$f(x)={\frac {\beta ^{1}}{\Gamma (1)}}x^{1-1}e^{-\beta x}=\beta e^{-\beta x}$

Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter $\alpha ={\frac {n}{2}}$, pričom $n$ je celé kladné číslo a druhý parameter $\beta =2$, tak dostaneme $\chi ^{2}$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda $\chi ^{2}(n)$

Vlastnosti

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

$\mu _{r}={\frac {\Gamma (r+\alpha )}{\beta ^{r}\Gamma (\alpha )}}$

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej $X$:

• $\operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\beta }}$
• $\operatorname {D} (X)={\frac {\alpha }{\beta ^{2}}}$

Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:

$\operatorname {\gamma } _{1}={\frac {2}{\sqrt {\alpha }}}$

Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:

$m(t)=({\frac {\beta }{\beta -t}})^{\alpha }$

pre $t<\beta$.

Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:

$\varphi (t)={\frac {\beta ^{\alpha }}{(\beta -it)^{\alpha }}}$

pričom pre parametre platí: $\alpha >0$, $\beta >0$ a $t\in R$.

Poznámky

• V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen $\alpha$ a $\beta$ sa zvyknú používať písmená našej abecedy, $a$ a $b$ (pričom v niektorej literatúre potom parameter $\alpha$ zodpovedá $b$ a parameter $\beta$ zodpovedá $a$).

Zdroje

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
• ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.
• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
• HARMAN, Radoslav. Stochastické simulačné metódy [online]. [Cit. 2012-03-24]. Kapitola Generovanie realizácií spojitých náhodných premenných a vektorov. Dostupné online. ^{[nefunkčný odkaz]}