Charakteristická funkcia (teória pravdepodobnosti)

Charakteristická funkcia je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike jedna z funkcií náhodnej veličiny. Využíva sa (okrem iného) pri charakterizovaní a určovaní vlastností náhodných veličín a pri skúmaní limitného správania sa a limitných viet náhodných veličín.

Charakteristická funkcia úplne určuje rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny. Ak existuje hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny, tak potom je charakteristická funkcia Fourierova transformácia tejto hustoty.

Každá náhodná veličina má svoju charakteristickú funkciu, teda inak povedané – charakteristická funkcia náhodnej veličiny existuje vždy. V tom sa líši napríklad od momentovej vytvárajúcej funkcie, ktorá nie je definovaná pre všetky náhodné veličiny.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná a nech $F(x)$ je jej distribučná funkcia. Komplexná funkcia reálnej premennej $\varphi _{X}(t):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$, ktorú definujeme nasledujúcim vzťahom:

$\varphi _{X}(t)=E\left[e^{itX}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF(x)\quad \left(=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\right)$

sa nazýva charakteristická funkcia náhodnej premennej $X$.

V uvedenom vzťahu písmeno $i$ označuje tzv. imaginárnu jednotku komplexného čísla $a+ib$, $\mathbb {R}$ je množina reálnych čísel, $\mathbb {C}$ je množina komplexných čísel a $t\in \mathbb {R}$. Pre imaginárnu jednotku uvedenú v definícii platí známy vzťah: $i^{2}=-1$. Vo výraze v zátvorke nachádzajúcom sa na konci vzťahu označuje symbol $f_{X}(x)$ hustotu náhodnej veličiny. Posledná rovnosť však platí len v tom prípade, ak existuje hustota náhodnej veličiny (pokiaľ neexistuje, tak samozrejme nemôžeme charakteristickú funkciu pomocou nej vyjadriť).

Ďalej môžeme definovať vzťah pre $e^{it}$ nasledovne:

$e^{it}=cos(t)+isin(t)$

A vďaka tomuto vzťahu môžeme písať:

$\varphi _{X}(t)=E\left[e^{itX}\right]=E\left[cos(tX)\right]+iE\left[sin(tX)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)dF(x)+i\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)\,dF(x)$

Pokiaľ je uvažovaná náhodná veličina $X$ diskrétna, tak platí nasledovné:

$\varphi _{X}(t)=\sum _{k}e^{itx_{k}}P\left[X=x_{k}\right]=\sum _{k}cos(tx_{k})P\left[X=x_{k}\right]+i\sum _{k}sin(tx_{k})P\left[X=x_{k}\right]$

Zovšeobecnenie

Predchádzajúca definícia sa dá zovšeobecniť aj pre zložitejšie (iné ako jednorozmerné) náhodné veličiny.

• Pokiaľ uvažujeme nasledovný náhodný vektor $X^{T}=(X_{1},\cdots ,X_{n})$, tak jeho charakteristická funkcia je definovaná nasledovne:

$\varphi _{X}(t_{1},\cdots ,t_{n})=E\left[e^{i\sum _{i=1}^{n}t_{i}X_{i}}\right]=E\left[e^{it^{T}X}\right]$
kde $t^{T}=(t_{1},\cdots ,t_{n})$.

• Ak $X$ je náhodná matica typu $k\times p$, tak pre $t\in R^{k\times p}$ potom platí:

$\varphi _{X}(t)=E\left[e^{i\operatorname {tr} (t^{T}X)}\right]$

• V prípade, že $X$ je komplexná náhodná premenná a $t\in \mathbb {C}$, tak pre charakteristickú funkciu platí nasledovný vzťah:

$\varphi _{X}(t)=E\left[e^{i\operatorname {Re} ({\overline {t}}X)}\right]$

• V prípade, že $X$ je komplexný náhodný vektor a $t\in \mathbb {C} ^{k}$, tak pre jeho charakteristickú funkciu platí zase nasledovný vzťah:

$\varphi _{X}(t)=E\left[e^{i\operatorname {Re} (t^{*}X)}\right]$

• A v prípade, že $X$ je stochastický (náhodný) proces, tak pre každú funkciu $t(s)$ takú, že integrál $\int _{\mathbb {R} }t(s)X(s)\,ds$ konverguje pre takmer všetky realizácie $X$, platí nasledovné:

$\varphi _{X}(t)=E\left[e^{i\int _{\mathbb {R} }t(s)X(s)ds}\right]$

V predchádzajúcom značení použité symboly vyjadrujú:

• $\{.\}^{T}$ označuje transpozíciu (transponovanú maticu alebo vektor)
• $tr(.)$ označuje stopu matice (skratka z anglického slova trace)
• $Re(.)$ označuje reálnu časť komplexného čísla
• ${\bar {z}}$ označuje komplexne združené číslo
• $*$ označuje konjugovanú transpozíciu (v tomto prípade komplexného vektora), teda: $z^{*}={\bar {z}}^{T}$

Označenie charakteristickej funkcie

V závislosti od literatúry sa používa rôzne označenie (rôznymi gréckymi písmenami), napr:

• $\varphi _{X}(t)$
• $\psi _{X}(t)$

Vlastnosti charakteristickej funkcie

Charakteristická funkcia má niekoľko dôležitých vlastností. Jednou z týchto vlastností je, že charakteristická funkcia v bode 0 je rovná 1, teda matematicky zapísané: $\varphi _{X}(0)=1$.

Platnosť tejto rovnosti sa dá ukázať nasledovným postupom:

$\varphi _{X}(0)=E\left[e^{i.0.X}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i.0.x}dF(x)=\int _{-\infty }^{\infty }1.dF(x)=\int _{-\infty }^{\infty }dF(x)=1$

Ďalšou vlastnosťou je, že charakteristická funkcia je ohraničená, teda: $|\varphi _{X}(t)|\leq 1$ pre všetky $t\in \mathbb {R}$.

Pre charakteristickú funkciu zo záponého argumentu zase platí nasledovné: $\varphi _{X}(-t)={\bar {\varphi _{X}(t)}}$ pre všetky $t\in R$, kde ${\bar {\varphi _{X}(t)}}$ vyjadruje komplexne združené číslo k číslu $\varphi _{X}(t)$

Charakteristická funkcia $\varphi _{X}(t)$ je rovnomerne spojitá na množine reálnych čísiel $\mathbb {R}$

Charakteristická funkcia $\varphi _{X}(t)$ je tiež kladne semidefinitná, teda platí:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\bar {\lambda _{i}}}\varphi _{X}\left(t_{i}-t_{j}\right)\geq 0$
pričom nerovnosť platí pre ľubovoľné komplexné čísla $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}$ a ľubovoľné reálne čísla $t_{1},\cdots ,t_{n}$, pre $n\geq 1$. Symbol ${\bar {\lambda _{i}}}$ označuje komplexne združené číslo k číslu $\lambda _{i}$.

Existuje vzťah medzi charakteristickými funkciami náhodných premenných a distribučnými funkciami náhodných premenných. Teda pokiaľ máme dve náhodné premenné $X_{1}$ a $X_{2}$, tak platí nasledovné:

$F_{X_{1}}=F_{X_{2}}\ \Leftrightarrow \ \varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}$

Pokiaľ existuje hustota $f(x)$ náhodnej veličiny $X$, pričom táto náhodná veličina má distribučnú funkciu $F(x)$, tak potom charakteristická funkcia tejto náhodnej veličiny sa dá vyjadriť aj v nasledujúcom tvare:

$\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)f(x)dx+i\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)f(x)\,dx$

Pre charakteristickú funkciu súčtu náhodných veličín, teda pre takú náhodnú veličinu $Y$, ktorá je súčtom $n$ nezávislých náhodných veličín: $Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ platí vzťah:

$\varphi _{Y}(t)=\varphi _{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{n}\varphi _{X_{i}}(t)$

Pre náhodnú veličinu nasledovného tvaru: $Y=aX+b$ zase platí:

$\varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)$

Pomocou charakteristickej funkcie sa dajú pomerne jednoducho vyrátať aj momenty náhodných veličín (pokiaľ tieto samozrejme existujú). Predpokladajme, že pre $k=1,2,\cdots ,j$ , $j\geq 1$ je $E\left(|X|^{k}\right)<\infty$. Potom vieme, že k-te derivácie, ktoré označíme $\varphi ^{k}$ funkcie $\varphi$ existujú a platí pre ne nasledovný vzťah:

$\varphi _{X}^{k}(0)=i^{k}E\left(X^{k}\right)$

Existencia charakteristickej funkcie

Každá náhodná veličina má svoju charakteristickú funkciu, teda inak povedané – charakteristická funkcia náhodnej veličiny existuje vždy. V tom sa líši napríklad od momentovej vytvárajúcej funkcie, ktorá nie je definovaná pre všetky náhodné veličiny.

Pokiaľ teda máme ľubovoľnú náhodnú veličinu $X$ a $t\in \mathbb {R}$, tak určite vieme, že pre každé $t\in \mathbb {R}$ platí (napr. pre funkciu kosínus), že: $|cos(tx)|\leq 1$ (analogicky pre funkciu sínus). Teda určite vieme, že funkcie $e^{itx}$, $cos(tx)$ a $sin(tx)$ sú spojité a ohraničené na množine $\mathbb {R}$. Z toho teda dostávame nasledovné:

$E\left[e^{itx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF(x)<\infty$

$E\left[cos(tx)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)dF(x)<\infty$

$E\left[sin(tx)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)dF(x)<\infty$

Teda Lebesgueove-Stieltjesove integrály existujú a sú konečné, ohraničené.

Príklady

Pre konkrétne rozdelenia pravdepodobnosti má charakteristická funkcia nasledovné vyjadrenia:

Rozdelenie pravdepodobnosti	Charakteristická funkcia
Degenerované rozdelenie $\delta _{a}$	$e^{ita}$
Alternatívne rozdelenie $Alt(p)$	$1-p+pe^{it}$
Binomické rozdelenie $Bin(n,p)$	$(1-p+pe^{it})^{n}$
Negatívne binomické rozdelenie $NBin(r,p)$	$\left({\frac {1-p}{1-pe^{i\,t}}}\right)^{r}$
Poissonovo rozdelenie $Poi(\lambda )$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
Rovnomerné rozdelenie $R(a,b)$	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
Laplaceovo rozdelenie $L(\mu ,b)$	${\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$
Normálne rozdelenie $N(\mu ,\sigma ^{2})$	$e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
Chí-kvadrát rozdelenie $\chi _{k}^{2}$	$(1-2it)^{-k/2}$
Cauchyho rozdelenie $C(\mu ,\theta )$	$e^{it\mu -\theta |t|}$
Gama rozdelenie $\Gamma (k,\theta )$	$(1-it\theta )^{-k}$
Exponenciálne rozdelenie $Exp(\lambda )$	$(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$
Mnohorozmerné normálne rozdelenie $N(\mu ,\Sigma )$	$e^{it^{T}\mu -{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$
Mnohorozmerné Cauchyho rozdelenie $C(\mu ,\Sigma )$	$e^{it^{T}\mu -{\sqrt {t^{T}\Sigma t}}}$

Zdroj

• RIEČAN, Bieloslav; LAMOŠ, František. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA - Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1984. Kapitola Charakteristické funkcie, s. 320.
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory, s. 344.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Charakteristické funkcie, s. 150.

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Characteristic function (probability theory) na anglickej Wikipédii.