Normálne rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Normálne rozdelenie alebo Gaussovo rozdelenie alebo normálne rozdelenie pravdepodobnosti či Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti je jedno z najdôležitejších rozdelení pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny.

Týmto rozdelením pravdepodobnosti sa síce neriadi veľké množstvo veličín, ale jeho význam spočíva v tom, že za určitých podmienok dobre aproximuje rad iných pravdepodobnostných rozdelení (spojitých aj diskrétnych).

V súvislosti s normálnym rozdelením sa často spomínajú náhodné chyby, napr. chyby merania, spôsobené veľkým počtom neznámych a vzájomne nezávislých príčin. Preto sa normálne rozdelenie označuje aj ako zákon chýb. Podľa tohoto zákona sa riadi aj rozdelenie niektorých fyzikálnych a technických veličín.

Rozdelenie pravdepodobnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Hustota normálneho rozdelenia pravdepodobnosti

Normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami \mu a \sigma^2, pre -\infty<\mu<\infty a \sigma^2>0, je pre -\infty<x<\infty definované hustotou pravdepodobnosti v tvare

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}}.

Normálne rozdelenie sa väčšinou značí \operatorname{N}(\mu,\sigma^2). Rozdelenie \operatorname{N}(0,1) býva označované ako normované (alebo štandardizované) normálne rozdelenie. Normované normálne rozdelenie má teda hustotu pravdepodobnosti

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}

Charakteristiky rozdelenia[upraviť | upraviť zdroj]

Stredná hodnota normálneho rozdelenia je

\operatorname{E}(X) = \mu

Normálne rozdelenie má rozptyl

\operatorname{D}(X) = \sigma^2

Pre medián dostaneme

x_{0,5} = \mu

Koeficienty šikmosti a špicatosti normálneho rozdelenia sú:

\gamma_1=0
\gamma_2=1

Momentovou vytvárajúcou funkciou normálneho rozdelenia možno zapísať v tvare

m(z) = \mathrm{e}^{z\mu + \frac{z^2 \sigma^2}{2}}


Pre prirodzené čísla k možno momenty pisať ako

\mu_{2k-1}=0
\mu_{2k} = \frac{(2k)!}{k!2^k} \sigma^{2k}

Distribučná funkcia[upraviť | upraviť zdroj]

Distribučná funkcia normálneho rozdelenia je

F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(t-\mu)}^2}{2\sigma^2}} \;\mathrm{d}t

Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nemožno vyjádriť elementárnymi funkciami.

Viacrozmerné rozdelenie[upraviť | upraviť zdroj]

Keď máme s-rozmerný náhodný vektor X, ktorého združená hustota pravdepodobnosti má tvar

f(x_1,x_2,...,x_s) = \frac{1}{\sqrt{{(2\pi)}^s {\left|\mathbf{C}\right|}}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}^T \mathbf{C}^{-1} {\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}}

pre -\infty<x_i<\infty, i=1,2,...,s, kde \mathbf{C} je symetrická, pozitivne definitná matica a \mathbf{x} = {(x_1,x_2,...,x_s)}^T a \mathbf{\mu} = {(\mu_1,\mu_2,...,\mu_s)}^T sú stĺpcové vektory. V takom prípadě hovoríme o s-rozmernom normálnom rozdelení, ktoré predstavuje zovšeobecnenie normálneho rozdelenia pre viacrozmernú náhodnú veličinu.

Charakteristiky viacrozmerného rozdelenia[upraviť | upraviť zdroj]

Momentovú vytvárajúcu funkciu možno vyjadriť ako

m(z_1,z_2,...,z_s) = \mathrm{e}^{\left(\mathbf{z}^T\mathbf{\mu}+ \frac{\mathbf{z}^T \mathbf{C}\mathbf{z}}{2}\right)}

Z predchádzajúceho vzťahu možno odvodiť, že \mathbf{\mu} predstavuje vektor stredných hodnôt a \mathbf{C} kovariančnú maticu.

Marginálne rozdelenie[upraviť | upraviť zdroj]

Marginálnym rozdelením veličiny X_i je jednorozmerné normálne rozdelenie \operatorname{N}(\mu_i,\sigma_i^2), marginálnym rozdelením veličín X_i, X_j pre i\neq j je dvojrozmerné normálne rozdelenie, atď.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Normální rozdělení na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).