Harmonické číslo

Harmonické číslo alebo presnejšie $n$-té harmonické číslo je hodnota súčtu obrátených hodnôt všetkých prirodzených čisel menších alebo rovných $n$. Bežne sa označuje symbolom $H_{n}$. Presne je definované vzťahom

$H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}$.

Harmonické čísla a ich vlastnosti študovali už antickí matematici. Dnes zohrávajú dôležitú úlohu v rozmanitých odvetviach teórie čísel. O harmonických číslach sa niekedy nesprávne hovorí ako o harmonickom rade. V skutočnosti sú iba čiastkovými súčtami harmonického radu. Tesne súvisia s Riemannovou zeta funkciou a vyskytujú sa v predpisoch niektorých špeciálnych funkcií.

Vlastnosti

• Hodnoty harmonických čísel rastú asymptoticky rovnako rýchlo ako hodnota prirodzeného logaritmu.
• Platí $\lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma$ kde $\gamma$ je Eulerova-Mascheroniova konštanta.

Vytvárajúca funkcia

Vytvárajúca funkcia harmonických čísel je

$\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}}$

Referencie

• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Harmonic_divisor_number na anglickej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené). (harmonic divisor number, Ore's harmonic number)