Lagrangeov polynóm

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Na obrázku je kubický Lagrangeov interpolujúci polynóm L(x) (zobrazený čiernou farbou) pre body (−9, 5), (−4, 2), (−1, −2) a (7, 9). Tento polynóm je súčtom konštantných faktorov bázických polynómov y00(x), y11(x), y22(x) a y33(x). Interpolujúci polynóm prechádza cez všetky štyri body, každý z bázických polynómov prechádza jedným z daných bodov a na x-ových súradniciach daných ostatnými bodmi má hodnotu 0.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je daná množina k + 1 bodov

kde žiadne dve hodnoty nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

Lagrangeových bázických polynómov

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí , čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Aby funkcia L(x) naozaj bola hľadaným interpolujúcim polynómom, musí platiť, že je to polynóm najviac k teho stupňa, pričom pre každé musí platiť .

Ak toto tvrdenie platí pre všetky j, hovoríme, že daný polynóm je riešením interpolačného problému.

Dokážeme teda dané tvrdenie:

  1. Vo výraze je k členov súčinu, pričom každý člen obsahuje práve x práve raz, teda L(x) (ktorý je tým pádom súčtom polynómov k-teho stupňa) musí byť tiež polynóm k-teho stupňa.

Skúmajme teraz, čo sa stane, ak rozvinime tento súčin. Keďže súčin vynecháva hodnotu , ak , tak všetky členy sú rovné (lebo stále platí ). Ak , jeden z členov súčinu, konkrétne ten, pre ktorý platí , bude mať hodnotu , a teda vynuluje celý súčin. Čiže platí

kde is the Kroneckerov symbol. Teda:

To ale znamená, že L(x) je polynóm stupňa najviac k, pričom platí . Navyše, takýto interpolujúci polynóm je určený jednoznačne.

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Lagrange polynomial na anglickej Wikipédii.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]