Moment zotrvačnosti

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Moment zotrvačnosti telesa je veličina, ktorá vystupuje pri skúmaní jeho otáčavého pohybu. Označujeme ju väčšinou I (v staršej literatúre to je väčšinou J), jednotkou v SI je \mathrm{kg\,m}^2. Moment zotrvačnosti závisí od tvaru a hmotnosti telesa, ale aj od osi otáčania, ktorú si zvolíme.

Súvis medzi posuvným a otáčavým pohybom[upraviť | upraviť zdroj]

Zjednodušene sa dá povedať, že moment zotrvačnosti vystupuje vo vzťahoch pre otáčavý pohyb tam, kde vo vzťahoch pre posuvný pohyb vystupuje hmotnosť. Takže popri kinetickej energii posuvného pohybu 1/2\,mv^2 je kinetická energia rotačného pohybu 1/2 I\omega^2 (\omega je uhlová rýchlosť otáčavého pohybu, ktorá nahradila rýchlosť posuvného pohybu v). Podobne popri hybnosti posuvného pohybu mv sa stretávame s momentom hybnosti telesa konajúceho otáčavý pohyb, ktorý sa vypočíta vzťahom I\omega. V neposlednom rade namiesto Newtonovho zákona pre posuvný pohyb F=ma máme pre otáčavý pohyb tzv. druhú vetu impulzovú, podľa ktorej M=I\varepsilon (M je moment pôsobiacej sily, \varepsilon je uhlové zrýchlenie telesa).

Výpočet momentu zotrvačnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Úlohou momentu zotrvačnosti je za pomoci vzťahu 1/2\,I\omega^2 vyjadrovať kinetickú energiu otáčavého pohybu telesa. Táto kinetická energia otáčavého pohybu však nie je nič iné než súčet kinetických energií všetkých malých kúskov, na ktoré si skúmané teleso môžeme v mysli rozdeliť. Každú z nich pritom môžeme vypočítať pomocou vzťahu 1/2\,m_kv_k^2, kde m_k je hmotnosť daného malého kúska a v_k je jeho rýchlosť (malosť kúska je tu potrebná na to, aby sme mohli považovať rýchlosť všetkých jeho častí za približne rovnakú - pri otáčavom pohybe sa totiž časti telesa rôzne vzdialené od osi otáčania pohybujú rôznymi rýchlosťami). Rýchlosť každého kúska závisí od jeho vzdialenosti od osi otáčania r_k podľa vzťahu v_k=\omega r_k. Ak si teraz jednotlivé malé kúsky očíslujeme číslami od 1 do n, celkovú kinetickú energiu otáčajúceho sa telesa môžeme napísať ako


E_k=\frac12 m_1r_1^2\omega^2+\frac12 m_2r_2^2\omega^2+\dots+\frac12 m_nr_n^2\omega^2=\frac12\Big(m_1r_1^2+\dots+m_nr_n^2\Big)\omega^2.

Takýmto jednoduchým sčítaním sme sa od vzťahov pre kinetickú energiu posuvného pohybu dostali k vzťahu pre otáčavý pohyb, kde namiesto rýchlosti v vystupuje uhlová rýchlosť \omega. Porovnaním so vzťahom 1/2\,I\omega^2 je jasné, že moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na danú os je vyjadrený súčtom v zátvorke, teda


I=m_1r_1^2+\dots+m_nr_n^2.

Problém tu spočíva v tom, že telesá majú spojito rozloženú hmotnosť. Preto nie je možné ich rozdeliť na malý počet "malých častí" (spomeňme si, prečo bola tá malosť častí taká dôležitá) a jednoducho sčítať podľa predchádzajúceho vzťahu. Je nutné použiť integrálny počet, pomocou ktorého dokážeme zapísať moment zotrvačnosti spojito rozdeleného telesa vzťahom


I=\int r^2\,\mathrm{d}m,

pričom tu integrujeme cez celý objem telesa.

Jedno teleso však predsa len zvládneme aj z hlavy - je ním tenká obruč s polomerom r a hmotnosťou m, ktorá sa otáča okolo osi kolmej na jej rovinu a prechádzajúcej stredom obruče. V tom prípade má totiž celá obruč rovnakú vzdialenosť od osi otáčania rovnú r, nepotrebujeme ju preto vôbec deliť a priamo môžeme napísať J=mr^2. Momenty zotrvačnosti niekoľkých ďalších telies sú v nasledujúcom zozname.

  • guľa (os otáčania prechádzajúca stredom): I=\frac25 mr^2
  • valec (os otáčania totožná s osou valca): I=\frac12 mr^2
  • tenká tyč dĺžky L (os otáčania kolmá na tyč prechádzajúca jej stredom): I=\frac1{12} mL^2
  • tenká tyč dĺžky L (os otáčania kolmá na tyč prechádzajúca jej koncom): I=\frac1{3} mL^2

Steinerova veta[upraviť | upraviť zdroj]

Ak chceme vypočítať moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os neprechádzajúcu ťažiskom, pričom poznáme moment zotrvačnosti J_0 vzhľadom na s ňou rovnobežnú os, ktorá ťažiskom prechádza, môžeme si pomôcť Steinerovou vetou. Podľa nej ak je hmotnosť telesa m a vzdialenosť dvoch spomínaných osí d, moment zotrvačnosti J vzhľadom na tú, ktorá neprechádza ťažiskom sa dá vypočítať pomocou vzťahu.


J=J_0+md_{}^2.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]