Pomoc:Matematické vzorce

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Súčasť série Návody a štýl

Softvér MediaWiki používa na tvorbu matematických vzorcov podmnožinu príkazov jazyka LaTeX a AMSLaTeX. Na základe nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je potom zo zdrojového textu vytvorený matematický vzorec vo formáte HTML (jednoduchšie výrazy) alebo v podobe obrázka PNG (zložitejšie resp. komplexnejšie výrazy). Každý vzorec za zapisuje medzi značky <math> a </math>.

Syntaktické pravidlá[upraviť | upraviť zdroj]

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery. Veľkosť medzier medzi jednotlivými znakmi riadi algoritmus. Rovnako sú ignorované konce riadkov. Napríklad zápis

<math> x +
y=z      -1 </math>

a zápis

<math> x + y = z - 1 </math>

vedie k rovnakému výsledku x+y=z-1\,\!.

Horné a dolné indexy[upraviť | upraviť zdroj]

Na vytváranie horného indexu slúži znak ^, na dolný index znak _. Ak je index tvorený viacerými znakmi, je potrebné ich umiestniť medzi znaky { a }.

zápis výstup
x^2 x^2\,\!
x_1 x_1\,\!
x_1^2 x_1^2\,\!
a^{bc}_{de} a^{bc}_{de}\,\!
R_i{}^j{}_{kl} R_i{}^j{}_{kl}\,\!
\beta^2 \beta^2\,\!

Príklad:
ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2

zápis: ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2

R_i{}^j{}_{kl} = g^{jm} R_{imkl}   = - g^{jm} R_{mikl} = - R^j{}_{ikl}\,\!

zápis: R_i{}^j{}_{kl} = g^{jm} R_{imkl} = - g^{jm} R_{mikl} = - R^j{}_{ikl}\,\!

Grécke písmená[upraviť | upraviť zdroj]

Grécke písmená sa tvoria pomocou znaku \ nasledovaným názvom písmena v angličtine.

zápis výstup
\alpha \alpha\,\!
\beta \beta\,\!
\gamma \gamma\,\!
\delta \delta\,\!
\nu \nu\,\!
\mu \mu\,\!

To isté platí aj pre veľké písmená, ale po znaku \ nasleduje názov s veľkým začiatočným písmenom.

zápis výstup
\Gamma \Gamma\,\!
\Delta \Delta\,\!
\Theta \Theta\,\!
\Omega \Omega\,\!
\Pi \Pi\,\!
\Sigma \Sigma\,\!

Niektoré grécke písmená majú dva varianty, aby napr. nedochádzalo k zámene s inými znakmi (napr. \epsilon\,\! a \in)

zápis výstup
\rho \varrho \rho \varrho\,\!
\phi \varphi \phi \varphi\,\!
\epsilon \varepsilon \epsilon \varepsilon\,\!
\pi \varpi \pi \varpi\,\!
\sigma \varsigma \sigma \varsigma\,\!

Diakritické znamienka[upraviť | upraviť zdroj]

V matematickom móde nie je možné používať priamo diakritické znamienka (konverzia vzorca skončí neúspešne). Vhodné sú na rozlišovanie premenných a veličín (napr. \dot V\,\! a V\,\!)

zápis výstup
\acute{a} \acute{a}\,\!
\grave{a} \grave{a}\,\!
\hat{a} \hat{a}\,\!
\check{a} \check{a}\,\!
\tilde{a} \tilde{a}\,\!
\breve{a} \breve{a}\,\!
\bar{a} \bar{a}\,\!
\dot{a} \dot{a}\,\!
\ddot{a} \ddot{a}\,\!
\vec{a} \vec{a}\,\!

Špeciálne písmená[upraviť | upraviť zdroj]

Príklady pre množiny, švabach a hebrejčinu.

zápis: x\in\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

vytvorí: x\in\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

zápis: \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0

vytvorí: \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0

zápis: \aleph \beth \gimel \daleth

vytvorí: \aleph \beth \gimel \daleth

zápis: \mathcal{ABCDE}

vytvorí: \mathcal{ABCDE}

zápis: \mathfrak{aAbBcC} 

vytvorí: \mathfrak{aAbBcC}

Diakritika[upraviť | upraviť zdroj]

Ak vložíte do <math> nie-ASCII znak, objaví sa na výstupe červená chybová hláška. Diakritiku je ale možné vložiť pomocou príkazov TeX-u:

\acute{a} \quad \check{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \tilde{a} \quad {\hat a}

zápis: \acute{a} \quad \check{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \tilde{a} \hat{a}

Funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Názov funkcie sa nepíše pomocou kurzívy ako premenná, ale stojatým písmom. Pre väčšinu matematických funkcií jestvuje príkaz.

zápis výstup zápis výstup
\sin x \sin x\,\! \ln x \ln x\,\!
\cos \alpha \cos \alpha\,\! \log (x+1) \log (x+1)\,\!
\tan x \tan x\,\! \max (1,2,3) \max (1,2,3)\,\!
\arcsin x \arcsin x\,\! \exp (2\pi r) \exp (2\pi r)\,\!

Príklad: \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z\,\!

zápis: \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z

Zátvorky a absolútna hodnota[upraviť | upraviť zdroj]

\|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) :
          |f(x)| \leq K \|x\| \mbox{ for all } x \in X \}

zápis: \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) : |f(x)| \leq K \|x\| \mbox{ for all } x \in X \}

f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)

zápis: f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)

Zlomky[upraviť | upraviť zdroj]

Zlomky sa vytvárajú pomocou príkazu \frac{<čitateľ>}{<menovateľ>}. Zátvorky okolo zlomkov sa tvoria pomocou príkazov \left( a \right) (prípadne \left\{ a \right\} a pod.)

zápis výstup
\frac{x-y}{(x+y)^2} \frac{x-y}{(x+y)^2}\,\!
\left(\frac {1}{x}\right)^2 \left(\frac {1}{x}\right)^2\,\!
\left[\frac{2x}{y+1}\right] \left[\frac{2x}{y+1}\right]\,\!
\frac{x+1}{y-1} \frac{x+1}{y-1}\,\!

Príklad: f(x) = 2x + \frac{x - 7}{x^2 + 4} zápis: f(x) = 2x + \frac{x - 7}{x^2 + 4}

Odmocniny[upraviť | upraviť zdroj]

Druhá odmocnina sa zapisuje pomocou príkazu \sqrt. Vyššie odmocniny sa zapisujú pomocou príkazu \sqrt[], pričom v hranatých zátvorkách sa uvádza odmocnina.

zápis výstup
\sqrt x \sqrt x\,\!
\sqrt{(a+b)^2} \sqrt{(a+b)^2}\,\!
\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{a}\,\!
\sqrt{\frac{x+1}{y-1}} \sqrt{\frac{x+1}{y-1}}\,\!

Príklad:

\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

zápis: \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\sqrt[3]{q + \sqrt{ q^2 - p^3 }}  + \sqrt[3]{q - \sqrt{ q^2 - p^3 }}

zápis: \sqrt[3]{q + \sqrt{ q^2 - p^3 }} + \sqrt[3]{q - \sqrt{ q^2 - p^3 }}

Integrály[upraviť | upraviť zdroj]

Pre znak integrálu je jestvuje príkaz \int, pričom na zápis rozsahu integrovania sa používa horný a dolný index. Na zápis derivácie sa používa stojaté písmo (\mathrm{d}) a obvykle sa od predchádzajúceho výrazu oddeľuje zúženou medzerou (\,).

zápis: \int_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí: \int_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

zápis: \oint_{C} x^3\, \mathrm{d}x + 4y^2\, \mathrm{d}y

vytvorí: \oint_{C} x^3\, \mathrm{d}x + 4y^2\, \mathrm{d}y

zápis: \iint_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí: \iint_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

Príklad:

\int_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x

zápis: \int_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x

Derivácie[upraviť | upraviť zdroj]

V slovenskej (a českej) notácii býva zvykom písať diferenciály „rovné“ pomocou \mathrm{} ako

\mathrm{d}x\, zápis: \mathrm{d}x,

čiže napr. pre deriváciu f podľa x

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\,

zápis: \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}

Suma a limita[upraviť | upraviť zdroj]

Ako znak sumy slúži príkaz \sum a pre produkt súčinu príkaz \prod. Horná a dolná medza sa zapisuje pomocou horného a dolného indexu.

zápis: \sum_{i=1}^n x^2 vytvorí: \sum_{i=1}^n x_i

zápis: \prod_{i=1}^n x_i vytvorí: \prod_{i=1}^n x_i

Limita sa zapisuje pomocou príkazu \lim s dolným indexom (príkaz \to vytvorí šípku).

zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

vytvorí: \lim_{n \to \infty}x_n

Príklad:

\lim_{n \to \infty}x_n zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

\sum_{k=1}^N k^2 zápis: \sum_{k=1}^N k^2

\prod_{i=1}^N x_i zápis: \prod_{i=1}^N x_i

Matice[upraviť | upraviť zdroj]

zápis výstup
\begin{matrix}
x & y \\
z & v
\end{matrix}
\begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}
   
\begin{pmatrix}
x & y \\
z & v
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix}
   
\begin{vmatrix}
x & y \\
z & v
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}
   
\begin{Vmatrix}
x & y \\
z & v
\end{Vmatrix}
\begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}
   
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots &0\end{bmatrix}
   
\vec a\times \vec b =
\det\begin{pmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
a_x & a_y &a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{pmatrix}
\vec a\times \vec b = \det\begin{pmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\  a_x & a_y &a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{pmatrix}

Príklad:

\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \end{pmatrix} \begin{vmatrix}
\lambda - a & -b & -c \\
-d & \lambda - e & -f \\
-g & -h & \lambda - i \end{vmatrix} \begin{matrix}
\mbox{Prve cislo} & x & 8 \\
\mbox{Druhe cislo} & y & 15 \\
\mbox{Sucet} & x + y & 23 \\
\mbox{Rozdiel} & x - y & -7 \\
\mbox{Sucin} & xy & 120 \end{matrix}

zápis: \begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}

       \begin{vmatrix}\lambda - a & -b & -c \\-d & \lambda - e & -f \\-g & -h & 
       \lambda - i \end{vmatrix}
       \begin{matrix}\mbox{Prve cislo} & x & 8 \\\mbox{Druhe cislo} & y & 15 \\
       \mbox{Sucet} & x + y & 23 \\\mbox{Rozdiel} & x - y & -7 \\
       \mbox{Sucin} & xy & 120 \end{matrix}

f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{ ak }n\mbox{ je neparne} \\ 3n+1,
 & \mbox{ ak }n\mbox{ je parne}\end{matrix}\right\}\,\!

zápis: f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{ ak }n\mbox{ je neparne} \\ 3n+1,

& \mbox{ ak }n\mbox{ je parne}\end{matrix}\right\\,\!}

Špeciálne znaky[upraviť | upraviť zdroj]

zápis výstup zápis výstup
\sim \sim\,\! \leftarrow \leftarrow\,\!
\approx \approx\,\! \rightarrow \rightarrow\,\!
\simeq \simeq\,\! \to \to\,\!
\cong \cong\,\! \not\to \not\to\,\!
\dot= \dot=\,\! \leftrightarrow \leftrightarrow\,\!
\le \le\,\! \Leftarrow \Leftarrow\,\!
\ge \ge\,\! \Rightarrow \Rightarrow\,\!
\gg \gg\,\! \Leftrightarrow \Leftrightarrow\,\!
\ll \ll\,\! \infty \infty\,\!
\equiv \equiv\,\! \times \times\,\!
\ne \ne\,\! \cdot \cdot\,\!
\propto \propto\,\! \pm \pm\,\!
\hbar \hbar\,\! \nabla \nabla\,\!
\partial \partial\,\! \emptyset \emptyset\,\!

Medzery[upraviť | upraviť zdroj]

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery, pretože sádzací program ich volí podľa vlastného algoritmu. Tento algoritmus pracuje väčšinou správne, ale niekedy je nutné si medzeru vynútiť. K dispozícii je viacero veľkostí medzier.

medzera ukážka poznámka
a\qquad b a\qquad b\,\!
a\quad b a\quad b\,\!
a\ b a\ b\,\! medzislovná medzera
a\; b a\;b\,\!
a\, b a\,b\,\! zúžená medzera
a\! b a\! b záporná medzera

Typografia vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

Pri tvorbe matematických vzorcov je vhodné dodržiavať niektoré pravidlá, ktoré zlepšujú ich interpretáciu a estetiku.

  • Znak násobenia
ako znak násobenia nie je dobré používať bodku na úrovni riadku (a.b), ale bodku v strede riadku (a\cdot b) alebo krížik (a\times b).
  • Derivácia
v slovenskej typografii (na rozdiel od anglosaskej) je zvykom písať znak derivácie „d“ stojatým písmom (pre rozlíšenie od premennej, ktorá sa píše kurzívou). Do stojatého písma sa prepína pomocou príkazu \mathrm{...}. Píšeme teda \mathrm{d}x a získame \mathrm{d}x\,\!
  • Fyzikálne jednotky
podobne ako derivácia sa značky fyzikálnych jednotiek píšu stojatým písmom a od číselnej hodnoty sa oddeľujú zúženou medzerou \,. Píšeme teda m = 5\,\mathrm{kg} a získame m = 5\,\mathrm{kg}
  • Desatinná čiarka
program LaTeX používa ako desatinný oddeľovač bodku (3.14), v slovenskej typografii to je čiarka, za ktorú však LaTeX automaticky vkladá medzeru. To sa dá potlačiť umiestnením čiarky do zátvoriek. Píšeme teda \pi = 3{,}14 a získame \pi = 3{,}14\,\!
  • Písanie slov
v prostedí math je každé písmeno chápané ako premenná, preto je sádzané kurzívou a navyše sú ignorované všetky medzery (ak n>2, potom vytvorí ak n > 2, potom\,\!). Je potrebné používať prostredie \mbox{}.
Píšeme teda (pozor na medzery!) \mbox{ak }n>2\mbox{, potom...} a získame \mbox{ak }n>2\mbox{, potom...}\,\!
  • Indexy
veľmi často sa dolný index používa na rozlíšenie veličín (t – čas; tP – Planckov čas). Je vhodné, aby index, ktorý reprezentuje len skratku, bol sádzaný stojatým písmom. Píšeme teda
h_{\mathrm{max}} a získame h_{\mathrm{max}}\,\!,
T_{\mathrm{v}} a získame T_{\mathrm{v}}\,\! (teplota varu),
ale píšeme C_p a získame C_p\,\! (p – značka tlaku kurzívou)
  • Funkcie
názvy funkcií (napr. sin, cos, ...) nepíšeme kurzívou (napr. sin x), pretože sin x vytvorí sin x\,\!, čo sa dá intepretovať aj ako súčin premenných s, i, n a x.
Používame pripravené príkazy \sin, \cos, \log, ...

Vkladanie formátovacích znakov[upraviť | upraviť zdroj]

Pri tvorbe matematických vzorcov je potrebné používať niektoré znaky, ktoré sa nenachádzajú na bežnej slovenskej klávesnici. Je však možné ich vkladať pomocou tzv. alt kódov (klávesa alt (resp. alt gr) + číslo).

znak alt kód alternatíva
\ alt + 92 alt + q
^ alt + 94 alt + 3 a potom medzera
_ alt + 95 shift + -
[ alt + 91 alt + f
] alt + 93 alt + g
{ alt + 123 alt + b
} alt + 125 alt + n
< alt + 60 alt + ,
> alt + 62 alt + .

Vykresľovanie vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

Na základe používateľských nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je vytvorený buď vzorec vo formáte HTML alebo vo formáte PNG. Niekedy však vzorec vo formáte PNG ponúka uspokojivejší výsledok. V takom prípade je možné si PNG formát vynútiť príkazom \,\! umiestneným na konci či začiatku vzorca (ide o príkaz pre zúženú medzeru „neutralizovaný“ zápornou medzerou rovnakej veľkosti).

zápis výstup
abc abc
abc\,\! abc\,\!
a^2 + b^2 = c^2 a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = c^2\,\! a^2 + b^2 = c^2\,\!

Pozn.: V tomto návode boli pre jednotnosť všetky vzorce vynútené ako PNG pomocou spomenutého mechanizmu.

Ukážky hotových vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

zápis výstup
x_{1,2}=\frac{-b \pm
\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,\!
   
x^n + y^n =
z^n\quad(n>3;\ x,y,z
\in \mathbb{N})
x^n + y^n = z^n\quad(n>3;\ x,y,z \in \mathbb{N})\,\!
   
\sqrt[n+1]{x_1+
\cdots + x_n}
\sqrt[n+1]{x_1 + \cdots + x_n}\,\!
   
p_1 V_1 = p_2 V_2
\quad (T = \mathrm{const})
p_1 V_1 = p_2 V_2 \quad (T = \mathrm{const})
   
\int^\infty_0
f(x)\,\mathrm{d}x
\int^\infty_0 f(x)\,\mathrm{d}x
   
x + y = \max\{x,y\}
+\min\{x,y\}
 x + y = \max\{x,y\} + \min\{x,y\}\,\!
   
\sin 18^\circ =
\frac{1}{4}(\sqrt 5 - 1)
\sin 18^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt 5 - 1)\,\!
   
f(x,y,z) = 3y^2 z
\left( 3 + \frac{7x+5}{1 +
y^2} \right)
f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)\,\!
   
n \choose k/2 n \choose k/2 \,\!
   
f(n) =
\begin{cases}
n/2, & \mathrm{ak}\ n \
\mathrm{p\acute{a}rne} \\ 3n+1, &
\mathrm{ak}\ n\ \mathrm{nep\acute{a}rne}
\end{cases}
f(n) = \begin{cases} n/2, & \mathrm{ak}\ n \ \mathrm{p\acute{a}rne} \\ 3n+1, & \mathrm{ak}\ n\ \mathrm{nep\acute{a}rne}\end{cases}

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  • D. E. Knuth: The TeXbook, AMS & Addison–Wesley, 1986
  • T. Oetiker a kol.: Nie príliš stručný úvod do systému LaTeX 2ε, dostupný na internete

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]