Pomoc:Matematické vzorce

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Súčasť série Návody a štýl

Softvér MediaWiki používa na tvorbu matematických vzorcov podmnožinu príkazov jazyka LaTeX a AMSLaTeX. Na základe nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je potom zo zdrojového textu vytvorený matematický vzorec vo formáte HTML (jednoduchšie výrazy) alebo v podobe obrázka PNG (zložitejšie resp. komplexnejšie výrazy). Každý vzorec za zapisuje medzi značky <math> a </math>.

Syntaktické pravidlá[upraviť | upraviť zdroj]

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery. Veľkosť medzier medzi jednotlivými znakmi riadi algoritmus. Rovnako sú ignorované konce riadkov. Napríklad zápis

<math> x +
y=z      -1 </math>

a zápis

<math> x + y = z - 1 </math>

vedie k rovnakému výsledku .

Horné a dolné indexy[upraviť | upraviť zdroj]

Na vytváranie horného indexu slúži znak ^, na dolný index znak _. Ak je index tvorený viacerými znakmi, je potrebné ich umiestniť medzi znaky { a }.

zápis výstup
x^2
x_1
x_1^2
a^{bc}_{de}
R_i{}^j{}_{kl}
\beta^2

Príklad:

zápis: ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2

zápis: R_i{}^j{}_{kl} = g^{jm} R_{imkl} = - g^{jm} R_{mikl} = - R^j{}_{ikl}\,\!

Grécke písmená[upraviť | upraviť zdroj]

Grécke písmená sa tvoria pomocou znaku \ nasledovaným názvom písmena v angličtine.

zápis výstup
\alpha
\beta
\gamma
\delta
\nu
\mu

To isté platí aj pre veľké písmená, ale po znaku \ nasleduje názov s veľkým začiatočným písmenom.

zápis výstup
\Gamma
\Delta
\Theta
\Omega
\Pi
\Sigma

Niektoré grécke písmená majú dva varianty, aby napr. nedochádzalo k zámene s inými znakmi (napr. a )

zápis výstup
\rho \varrho
\phi \varphi
\epsilon \varepsilon
\pi \varpi
\sigma \varsigma

Diakritické znamienka[upraviť | upraviť zdroj]

V matematickom móde nie je možné používať priamo diakritické znamienka (konverzia vzorca skončí neúspešne). Vhodné sú na rozlišovanie premenných a veličín (napr. a )

zápis výstup
\acute{a}
\grave{a}
\hat{a}
\check{a}
\tilde{a}
\breve{a}
\bar{a}
\dot{a}
\ddot{a}
\vec{a}

Špeciálne písmená[upraviť | upraviť zdroj]

Príklady pre množiny, švabach a hebrejčinu.

zápis: x\in\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

vytvorí:

zápis: \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0

vytvorí:

zápis: \aleph \beth \gimel \daleth

vytvorí:

zápis: \mathcal{ABCDE}

vytvorí:

zápis: \mathfrak{aAbBcC} 

vytvorí:

Diakritika[upraviť | upraviť zdroj]

Ak vložíte do <math> nie-ASCII znak, objaví sa na výstupe červená chybová hláška. Diakritiku je ale možné vložiť pomocou príkazov TeX-u:

zápis: \acute{a} \quad \check{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \tilde{a} \hat{a}

Funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Názov funkcie sa nepíše pomocou kurzívy ako premenná, ale stojatým písmom. Pre väčšinu matematických funkcií jestvuje príkaz.

zápis výstup zápis výstup
\sin x \ln x
\cos \alpha \log (x+1)
\tan x \max (1,2,3)
\arcsin x \exp (2\pi r)

Príklad:

zápis: \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z

Zátvorky a absolútna hodnota[upraviť | upraviť zdroj]

zápis: \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) : |f(x)| \leq K \|x\| \mbox{ for all } x \in X \}

zápis: f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)

Zlomky[upraviť | upraviť zdroj]

Zlomky sa vytvárajú pomocou príkazu \frac{<čitateľ>}{<menovateľ>}. Zátvorky okolo zlomkov sa tvoria pomocou príkazov \left( a \right) (prípadne \left\{ a \right\} a pod.)

zápis výstup
\frac{x-y}{(x+y)^2}
\left(\frac {1}{x}\right)^2
\left[\frac{2x}{y+1}\right]
\frac{x+1}{y-1}

Príklad: zápis: f(x) = 2x + \frac{x - 7}{x^2 + 4}

Odmocniny[upraviť | upraviť zdroj]

Druhá odmocnina sa zapisuje pomocou príkazu \sqrt. Vyššie odmocniny sa zapisujú pomocou príkazu \sqrt[], pričom v hranatých zátvorkách sa uvádza odmocnina.

zápis výstup
\sqrt x
\sqrt{(a+b)^2}
\sqrt[3]{a}
\sqrt{\frac{x+1}{y-1}}

Príklad:

zápis: \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

zápis: \sqrt[3]{q + \sqrt{ q^2 - p^3 }} + \sqrt[3]{q - \sqrt{ q^2 - p^3 }}

Integrály[upraviť | upraviť zdroj]

Pre znak integrálu je jestvuje príkaz \int, pričom na zápis rozsahu integrovania sa používa horný a dolný index. Na zápis derivácie sa používa stojaté písmo (\mathrm{d}) a obvykle sa od predchádzajúceho výrazu oddeľuje zúženou medzerou (\,).

zápis: \int_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí:

zápis: \oint_{C} x^3\, \mathrm{d}x + 4y^2\, \mathrm{d}y

vytvorí:

zápis: \iint_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí:

Príklad:

zápis: \int_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x

Derivácie[upraviť | upraviť zdroj]

V slovenskej (a českej) notácii býva zvykom písať diferenciály „rovné“ pomocou \mathrm{} ako

zápis: \mathrm{d}x,

čiže napr. pre deriváciu f podľa x

zápis: \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}

Suma a limita[upraviť | upraviť zdroj]

Ako znak sumy slúži príkaz \sum a pre produkt súčinu príkaz \prod. Horná a dolná medza sa zapisuje pomocou horného a dolného indexu.

zápis: \sum_{i=1}^n x^2 vytvorí:

zápis: \prod_{i=1}^n x_i vytvorí:

Limita sa zapisuje pomocou príkazu \lim s dolným indexom (príkaz \to vytvorí šípku).

zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

vytvorí:

Príklad:

zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

zápis: \sum_{k=1}^N k^2

zápis: \prod_{i=1}^N x_i

Matice[upraviť | upraviť zdroj]

zápis výstup
\begin{matrix}
x & y \\
z & v
\end{matrix}
   
\begin{pmatrix}
x & y \\
z & v
\end{pmatrix}
   
\begin{vmatrix}
x & y \\
z & v
\end{vmatrix}
   
\begin{Vmatrix}
x & y \\
z & v
\end{Vmatrix}
   
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}
   
\vec a\times \vec b =
\det\begin{pmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
a_x & a_y &a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{pmatrix}

Príklad:

zápis: \begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}

       \begin{vmatrix}\lambda - a & -b & -c \\-d & \lambda - e & -f \\-g & -h & 
       \lambda - i \end{vmatrix}
       \begin{matrix}\mbox{Prve cislo} & x & 8 \\\mbox{Druhe cislo} & y & 15 \\
       \mbox{Sucet} & x + y & 23 \\\mbox{Rozdiel} & x - y & -7 \\
       \mbox{Sucin} & xy & 120 \end{matrix}

zápis: f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{ ak }n\mbox{ je neparne} \\ 3n+1,

& \mbox{ ak }n\mbox{ je parne}\end{matrix}\right\\,\!}

Špeciálne znaky[upraviť | upraviť zdroj]

zápis výstup zápis výstup
\sim \leftarrow
\approx \rightarrow
\simeq \to
\cong \not\to
\dot= \leftrightarrow
\le \Leftarrow
\ge \Rightarrow
\gg \Leftrightarrow
\ll \infty
\equiv \times
\ne \cdot
\propto \pm
\hbar \nabla
\partial \emptyset

Medzery[upraviť | upraviť zdroj]

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery, pretože sádzací program ich volí podľa vlastného algoritmu. Tento algoritmus pracuje väčšinou správne, ale niekedy je nutné si medzeru vynútiť. K dispozícii je viacero veľkostí medzier.

medzera ukážka poznámka
a\qquad b
a\quad b
a\ b medzislovná medzera
a\; b
a\, b zúžená medzera
a\! b záporná medzera

Typografia vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

Pri tvorbe matematických vzorcov je vhodné dodržiavať niektoré pravidlá, ktoré zlepšujú ich interpretáciu a estetiku.

  • Znak násobenia
ako znak násobenia nie je dobré používať bodku na úrovni riadku (a.b), ale bodku v strede riadku (a\cdot b) alebo krížik (a\times b).
  • Derivácia
v slovenskej typografii (na rozdiel od anglosaskej) je zvykom písať znak derivácie „d“ stojatým písmom (pre rozlíšenie od premennej, ktorá sa píše kurzívou). Do stojatého písma sa prepína pomocou príkazu \mathrm{...}. Píšeme teda \mathrm{d}x a získame
  • Fyzikálne jednotky
podobne ako derivácia sa značky fyzikálnych jednotiek píšu stojatým písmom a od číselnej hodnoty sa oddeľujú zúženou medzerou \,. Píšeme teda m = 5\,\mathrm{kg} a získame
  • Desatinná čiarka
program LaTeX používa ako desatinný oddeľovač bodku (3.14), v slovenskej typografii to je čiarka, za ktorú však LaTeX automaticky vkladá medzeru. To sa dá potlačiť umiestnením čiarky do zátvoriek. Píšeme teda \pi = 3{,}14 a získame
  • Písanie slov
v prostedí math je každé písmeno chápané ako premenná, preto je sádzané kurzívou a navyše sú ignorované všetky medzery (ak n>2, potom vytvorí ). Je potrebné používať prostredie \mbox{}.
Píšeme teda (pozor na medzery!) \mbox{ak }n>2\mbox{, potom...} a získame
  • Indexy
veľmi často sa dolný index používa na rozlíšenie veličín (t – čas; tP – Planckov čas). Je vhodné, aby index, ktorý reprezentuje len skratku, bol sádzaný stojatým písmom. Píšeme teda
h_{\mathrm{max}} a získame ,
T_{\mathrm{v}} a získame (teplota varu),
ale píšeme C_p a získame (p – značka tlaku kurzívou)
  • Funkcie
názvy funkcií (napr. sin, cos, ...) nepíšeme kurzívou (napr. sin x), pretože sin x vytvorí , čo sa dá intepretovať aj ako súčin premenných s, i, n a x.
Používame pripravené príkazy \sin, \cos, \log, ...

Vkladanie formátovacích znakov[upraviť | upraviť zdroj]

Pri tvorbe matematických vzorcov je potrebné používať niektoré znaky, ktoré sa nenachádzajú na bežnej slovenskej klávesnici. Je však možné ich vkladať pomocou tzv. alt kódov (klávesa alt (resp. alt gr) + číslo).

znak alt kód alternatíva
\ alt + 92 alt + q
^ alt + 94 alt + 3 a potom medzera
_ alt + 95 shift + -
[ alt + 91 alt + f
] alt + 93 alt + g
{ alt + 123 alt + b
} alt + 125 alt + n
< alt + 60 alt + ,
> alt + 62 alt + .

Vykresľovanie vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

Na základe používateľských nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je vytvorený buď vzorec vo formáte HTML alebo vo formáte PNG. Niekedy však vzorec vo formáte PNG ponúka uspokojivejší výsledok. V takom prípade je možné si PNG formát vynútiť príkazom \,\! umiestneným na konci či začiatku vzorca (ide o príkaz pre zúženú medzeru „neutralizovaný“ zápornou medzerou rovnakej veľkosti).

zápis výstup
abc
abc\,\!
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = c^2\,\!

Pozn.: V tomto návode boli pre jednotnosť všetky vzorce vynútené ako PNG pomocou spomenutého mechanizmu.

Ukážky hotových vzorcov[upraviť | upraviť zdroj]

zápis výstup
x_{1,2}=\frac{-b \pm
\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   
x^n + y^n =
z^n\quad(n>3;\ x,y,z
\in \mathbb{N})
   
\sqrt[n+1]{x_1+
\cdots + x_n}
   
p_1 V_1 = p_2 V_2
\quad (T = \mathrm{const})
   
\int^\infty_0
f(x)\,\mathrm{d}x
   
x + y = \max\{x,y\}
+\min\{x,y\}
   
\sin 18^\circ =
\frac{1}{4}(\sqrt 5 - 1)
   
f(x,y,z) = 3y^2 z
\left( 3 + \frac{7x+5}{1 +
y^2} \right)
   
n \choose k/2
   
f(n) =
\begin{cases}
n/2, & \mathrm{ak}\ n \
\mathrm{p\acute{a}rne} \\ 3n+1, &
\mathrm{ak}\ n\ \mathrm{nep\acute{a}rne}
\end{cases}

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  • D. E. Knuth: The TeXbook, AMS & Addison–Wesley, 1986
  • T. Oetiker a kol.: Nie príliš stručný úvod do systému LaTeX 2ε, dostupný na internete

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]