Riccatiho rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Riccatiho rovnica je nelineárna Obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu

kde funkcie sú zadané a predpokladá sa, že .

Transformácia na lineárnu rovnicu druhého rádu[upraviť | upraviť zdroj]

Riccatiho rovnicu možno upraviť na lineárnu rovnicu druhého rádu.

Ak , tak nová funkcia je riešením špeciálnej Riccatiho rovnici

kde význam symbolov je nasledovný

.

Ak teraz urobíme substitúciu , tak zistíme, že funkcia spĺňa lineárnu rovnicu druhého rádu

Riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice potom súvisí s riešením lineárnej rovnice vzťahom

Štruktúra riešení Riccatiho rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Vzťah medzi Riccatiho rovnicou a lineárnou rovnicou druhého rádu umožňuje detailne preskúmať množinu riešení Riccatiho rovnice. Menovite, ak poznáme nejaké riešenie Riccatiho rovnice, označme ho , tak potom všeobecné riešenie je tvaru

Dosadením tohoto vzťahu do Riccatiho rovnice dostávame podmienku na funkciu

čo je Bernoulliho diferenciálna rovnica, ktorú riešime úpravou na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou substitúcie

s výslednou rovnicou

Čiže zhrnieme, ak je nejaké riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice, tak všeobecné riešenie Riccatiho rovnice má tvar

kde je všeobecné riešenie uvedenej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.