Wishartovo rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Wishartovo rozdelenie (iné názvy: Wishartovo pravdepodobnostné rozdelenie, Wishartovo rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Wishartovo rozdelenie je viacrozmerný analóg -rozdelenia alebo, v prípade neceločísleného počtu stupňov voľnosti, gama rozdelenia.

Wishartovo rozdelenie je jedno z rozdelení pravdepodobnosti, ktoré definujeme cez symetrické, nezáporne definitné matice, ktoré vystupujú ako náhodné premenné (tzv. „náhodné matice“). Rozdelenie je veľmi dôležité pri odhadovaní a získavaní odhadov kovariančných matíc vo viacrozmerných štatistických analýzach.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Johna Wisharta, ktorý prvýkrát v roku 1928 toto rozdelenie popísal.[1]

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme náhodný výber z normálneho -rozmerného rozdelenia s parametrami a , teda . Ďalej nech je matica typu n  ×  p definovaná nasledovne: . Potom matica definovaná nasledovným vzťahom:

má Wishartovo rozdelenie s stupňami voľnosti.

Označenie:

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Pokiaľ položíme kovariančnú maticu , tak hovoríme, že Wishartovo rozdelenie má štandardizovaný tvar, teda:

Pre , teda v prípade 1-rozmerného Wishartovho rozdelenia, sa toto rozdelenie zhoduje s -rozdelením s n stupňami voľnosti vynásobeným disperziou, teda:

Pokiaľ máme maticu , ktorá má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s stupňami voľnosti, teda a maticu , ktorá je typu p  ×  q, tak matica , ktorú dostaneme prenásobením matice zľava aj sprava maticou , má tiež Wishartovo rozdelenie s stupňami voľnosti, ale q-rozmerné a s inou kovariančnou maticou:

Zdroje a referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. WISHART, John. The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population. Biometrika, 1928, roč. 20A, čís. 1-2, s. 32–52.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Wishart distribution na anglickej Wikipédii.