Permutácia (algebra)

Permutácia množiny $A$ je každá bijekcia z množiny $A$ do množiny $A$.

Vlastnosti

• Množina všetkých permutácií pevne zvolenej množiny je uzavretá vzhľadom na kompozície zobrazení. Čiže, ak $\pi _{1},\pi _{2}\colon A\to A$ sú permutácie množiny $A$, potom aj kompozície $\pi _{1}\!\circ \pi _{2}$ a $\pi _{2}\circ \pi _{1}$ sú permutáciami množiny $A$. Z toho vyplýva, že množina všetkých permutácii pevne zvolenej množiny $A$ spolu s operáciou skladania zobrazení tvorí grupu.
• Počet rôznych permutácií konečnej $n$-prvkovej množiny je $n!$ (čiže $n$ faktoriál).

Cykly permutácie

Pre pevne zvolenú množinu $A$ a pre jej pevne zvolenú permutáciu $\pi \colon A\to A$ sa definuje na množine $A$ relácia $\sim _{\!\pi \,}$ podmienkou, že $x\sim _{\!\pi \,}y$ vtedy a len vtedy ak existuje prirodzené číslo $n$ také, že

$(\underbrace {\pi \circ \pi \circ \ldots \circ \pi } _{n})(x)=\pi ^{n}(x)=y$.

Relácia $\sim _{\!\pi \,}$ je ekvivalencia. Ak je množina $A$ konečná, triedy ekvivalencie relácie $\sim _{\!\pi \,}$ sa nazývajú cykly permutácie $\pi$.

Pozri aj

• Grupa
• Dismutácia