Prvočíslo: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
recateg |
+ pridane z cs a en |
||
| Riadok 1: | Riadok 1: | ||
'''Prvočíslo''' je [[prirodzené číslo]], ktorého jedinými [[deliteľ]]mi sú 1 a ono samo. Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami sa s výnimkou čísla 1 nazývajú '''[[zložené číslo|zložené čísla]]'''. |
'''Prvočíslo''' je [[prirodzené číslo]], ktorého jedinými [[deliteľ]]mi sú 1 a ono samo. Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami sa s výnimkou čísla 1 nazývajú '''[[zložené číslo|zložené čísla]]'''. |
||
Čísla 0 a 1 nie sú považované ani za prvočísla ani za zložené čísla. Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslom, alebo zloženým číslom. Skúmaním vlastností prvočísel sa zaoberá [[teória čísel]]. |
|||
Začiatok radu prvočísel: |
|||
:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … |
|||
== Vlastnosti== |
|||
* Ak ''p'' je prvočíslo a ''p'' delí súčin čísel ''a'' a ''b'', potom ''p'' delí ''a'' alebo ''p'' delí ''b''. |
|||
* Ak ''p'' je prvočíslo a ''a'' je ľubovolné celé číslo, potom je ''ap − a'' delitelné ''p''. |
|||
* Ak ''n'' je kladné celé číslo, existuje prvočíslo ''p'' také, že platí ''n'' < ''p'' ≤ 2''n''. |
|||
* Pre každé prvočíslo ''p'' > 2 existuje prirodzené číslo ''n'' také, že platí ''p'' = 4''n'' ± 1. |
|||
* Pre každé prvočíslo ''p'' > 3 existuje prirodzené číslo ''n'' také, že platí ''p'' = 6''n'' ± 1. |
|||
* Ak ''p'' je prvočíslo iné ako 2 a 5, potom 1/''p'' má v desiatkovej [[číselná sústava|číselnej sústave]] nekonečný desatinný rozvoj. |
|||
* Každé zložené číslo sa dá jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné [[činiteľ|činitel]]e (prvočinitele) sa nazýva [[faktorizácia]]. Napr. 24 = 2³ ⋅ 3. |
|||
* Ak ''p'' je prvočíslo a G je [[grupa (matematika)|grupa]] s ''pn'' prvkami, potom G obsahuje prvok rádu ''p''. |
|||
* Ak G je konečná grupa a ''pn'' je najvyššia mocnina prvočísla ''p'', ktorá delí rád grupy G, potom má grupa G [[podgrupa (matematika)|podgrupu]] rádu ''pn''. |
|||
* [[okruh|Okruh]] Z/''n''Z je [[teleso (algebra)|teleso]], práve vtedy, keď ''n'' je prvočíslo. Inak povedané: ''n'' je prvočíslo, práve vtedy keď ''φ(n)'' = ''n'' − 1. |
|||
* Prvočísel je nekonečne veľa. [[dôkaz sporom |Dôkaz sporom]]: Nech existuje iba konečne veľa prvočísel. Označme ich ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, …, ''p''<sub>n</sub>. Potom číslo ''x'' = ''p''<sub>1</sub> · ''p''<sub>2</sub> ··· ''p<sub>n</sub>'' + 1 nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri [[delenie|delení]] dostaneme vždy zvyšok 1. Teda číslo ''x'' musí byt buď prvočíslo, alebo musí byt deliteľné nejakým iným prvočíslom. To ale znamená, že [[množina]] prvočísel zo začiatku dôkazu nebola úplná, čo je spor s predpokladom.) |
|||
==Mersennove prvočísla== |
|||
Istou skupinou prvočísel sú takzvané [[Mersennove prvočísla]]. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2<sup>p</sup>-1, kde ''p'' je tiež prvočíslo. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených veľmi málo (presne 42 - zatiaľ posledné objavené sa skladá z 7 816 230 číslic). Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3 (2<sup>2</sup>-1) alebo 7 (2<sup>3</sup>-1). |
Istou skupinou prvočísel sú takzvané [[Mersennove prvočísla]]. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2<sup>p</sup>-1, kde ''p'' je tiež prvočíslo. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených veľmi málo (presne 42 - zatiaľ posledné objavené sa skladá z 7 816 230 číslic). Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3 (2<sup>2</sup>-1) alebo 7 (2<sup>3</sup>-1). |
||
== Hľadanie prvočísel== |
|||
{{math-stub}} |
|||
Na vytvorenie zoznamu prvočísel existujú rôzne [[algoritmus|algoritmy]], napr. [[Eratosthenovo sito(prvočísla)|Eratosthenovo sito]]. |
|||
== Využitie == |
|||
Veľký praktický význam majú prvočísla v [[Kryptológia|Kryptológii]]. |
|||
==Externe odkazy== |
|||
*[http://www.prime-numbers.org/ www.prime-numbers.org] – Prvočísla do 10 miliárd |
|||
[[Kategória:Celé čísla]] |
[[Kategória:Celé čísla]] |
||
[[Kategória:Prvočísla]] |
[[Kategória:Prvočísla]] |
||
[[af:Priemgetal]] |
|||
[[ang:Frumtæl]] |
|||
[[be:Просты лік]] |
|||
[[bg:Просто число]] |
|||
[[ca:Nombre primer]] |
|||
[[da:Primtal]] |
|||
[[de:Primzahl]] |
|||
[[el:Πρώτος αριθμός]] |
|||
[[en:Prime number]] |
[[en:Prime number]] |
||
[[eo:Primo]] |
|||
[[es:Número primo]] |
|||
[[et:Algarv]] |
|||
[[eu:Zenbaki lehen]] |
|||
[[fr:Nombre premier]] |
|||
[[he:מספר ראשוני]] |
|||
[[hu:Prímszámok]] |
|||
[[id:Bilangan prima]] |
|||
[[is:Frumtala]] |
|||
[[it:Numero primo]] |
|||
[[ja:素数]] |
|||
[[ko:소수 (수론)]] |
|||
[[la:Numerus primus]] |
|||
[[lt:Pirminiai skaičiai]] |
|||
[[nl:Priemgetal]] |
|||
[[no:Primtall]] |
|||
[[pl:Liczby pierwsze]] |
|||
[[pt:Número primo]] |
|||
[[ru:Простое число]] |
|||
[[scn:Nummuru primu]] |
|||
[[sl:Praštevilo]] |
|||
[[sr:Прост број]] |
|||
[[sv:Primtal]] |
|||
[[th:จำนวนเฉพาะ]] |
|||
[[tr:Asal sayılar]] |
|||
[[uk:Просте число]] |
|||
[[zh:素数]] |
|||
Verzia z 14:49, 19. november 2005
Prvočíslo je prirodzené číslo, ktorého jedinými deliteľmi sú 1 a ono samo. Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami sa s výnimkou čísla 1 nazývajú zložené čísla.
Čísla 0 a 1 nie sú považované ani za prvočísla ani za zložené čísla. Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslom, alebo zloženým číslom. Skúmaním vlastností prvočísel sa zaoberá teória čísel.
Začiatok radu prvočísel:
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Vlastnosti
- Ak p je prvočíslo a p delí súčin čísel a a b, potom p delí a alebo p delí b.
- Ak p je prvočíslo a a je ľubovolné celé číslo, potom je ap − a delitelné p.
- Ak n je kladné celé číslo, existuje prvočíslo p také, že platí n < p ≤ 2n.
- Pre každé prvočíslo p > 2 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 4n ± 1.
- Pre každé prvočíslo p > 3 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 6n ± 1.
- Ak p je prvočíslo iné ako 2 a 5, potom 1/p má v desiatkovej číselnej sústave nekonečný desatinný rozvoj.
- Každé zložené číslo sa dá jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné činitele (prvočinitele) sa nazýva faktorizácia. Napr. 24 = 2³ ⋅ 3.
- Ak p je prvočíslo a G je grupa s pn prvkami, potom G obsahuje prvok rádu p.
- Ak G je konečná grupa a pn je najvyššia mocnina prvočísla p, ktorá delí rád grupy G, potom má grupa G podgrupu rádu pn.
- Okruh Z/nZ je teleso, práve vtedy, keď n je prvočíslo. Inak povedané: n je prvočíslo, práve vtedy keď φ(n) = n − 1.
- Prvočísel je nekonečne veľa. Dôkaz sporom: Nech existuje iba konečne veľa prvočísel. Označme ich p1, p2, …, pn. Potom číslo x = p1 · p2 ··· pn + 1 nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri delení dostaneme vždy zvyšok 1. Teda číslo x musí byt buď prvočíslo, alebo musí byt deliteľné nejakým iným prvočíslom. To ale znamená, že množina prvočísel zo začiatku dôkazu nebola úplná, čo je spor s predpokladom.)
Mersennove prvočísla
Istou skupinou prvočísel sú takzvané Mersennove prvočísla. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2p-1, kde p je tiež prvočíslo. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených veľmi málo (presne 42 - zatiaľ posledné objavené sa skladá z 7 816 230 číslic). Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3 (22-1) alebo 7 (23-1).
Hľadanie prvočísel
Na vytvorenie zoznamu prvočísel existujú rôzne algoritmy, napr. Eratosthenovo sito.
Využitie
Veľký praktický význam majú prvočísla v Kryptológii.
Externe odkazy
- www.prime-numbers.org – Prvočísla do 10 miliárd